Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где
и
- положительные числа.
Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости ,
и координатная ось
.
Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости
, поэтому
.
Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью
. На этой плоскости
, поэтому
.
Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 19). Сечение плоскостью
также является параболой. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью
. Уравнения этой линии
Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида.
Пусть
. Первое уравнение преобразуем к виду
, то есть к виду
, где
,
. Полученное уравнение является уравнением эллипса. Изобразим полученное сечение (рис.19). При
плоскость поверхность не пересекает.
Рис.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями
Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости
. Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям
и являются параболами, такими же, как в плоскости
, только сдвинутыми вверх на величину
, их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью
(рис. 20).
Рис.20 Дополнительное сечение Рис. 21.Эллиптический параболоид Рис. 22.Параболоид вращения
Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости
, а вершина скользила по параболе в плоскости
.
Если в уравнении , то сечения плоскостями, параллельными плоскости
, являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости
, вокруг оси
(рис. 22).