Невласний інтеграл по нескінченному проміжку
Невласні інтеграли
Перейдемо до узагальнення поняття визначеного інтеграла у напрямку, коли: проміжок інтегрування є нескінченним.
Невласний інтеграл по нескінченному проміжку
Нехай функція
є інтегрованою на довільному проміжку
. Покладемо за означенням
. (11.1)
Невласний інтеграл назвемо збіжним, якщо границя існує і скінченна (величина цієї границі приймається за значення невласного інтеграла). У протилежному разі цей невласний інтеграл називається розбіжним.
Цілком аналогічно визначаються невласні інтеграли:
,
.
Приклад 1. Дослідити на збіжність інтеграли:
1) ; 2)
.Розв’язання:1)
.
![]() | Оскільки ![]() ![]() ![]() ![]() |
б) . Оскільки границя
не існує (не існує числа до якого прямує
при
), то невласний інтеграл
є розбіжним.
Приклад 2. Дослідити на збіжність інтеграл
. (11.2)
Розв’язання.Нехай . Тоді при
та інтеграл (11.2) є
розбіжним. Якщо , то
. Звідки при
маємо
і, таким чином, інтеграл (11.2) збігається, причому
.
У тому разі, коли , то
та інтеграл (11.2) є розбіжним. Отже, інтеграл (11.2) збігається при
і розбігається при
.
У розібраних вище прикладах відповідь на питання про збіжність або розбіжність інтеграла знаходили за допомогою первісної підінтегральної функції
. При цьому у разі збіжності невласного інтеграла знаходили і його значення. Проте часто потрібно лише відповісти на питання, збігається чи розбігається невласний інтеграл, а для цього необов’язково знаходити
. А саме, наприклад, невласний інтеграл (11.1) від додатної функції
збігається тоді і тільки тоді, якщо при зростанні
інтеграл
є обмеженим зверху (див. теорему 4 підрозд. 3.6 посібника). У випадку, якщо інтеграл
не є обмеженим, то інтеграл (11.1) розбігається (дорівнює
). На цьому заснована наступна ознака порівняння.
Теорема.Нехай , тоді:
1) інтеграл є збіжним, якщо інтеграл
збігається;
2) інтеграл є розбіжним, якщо інтеграл
розбігається.
Наслідок.Якщо для додатних функцій та
існує скінченна границя
,
то обидва інтеграли ,
збігаються або розбігаються одночасно. Зокрема, якщо
,
то інтеграл збігається при
і розбігається при
.
Приклад 3. Дослідити на збіжність інтеграли:
1) ; 2)
.
Розв’язання.Відзначимо, що елементарної первісної в обох випадках не існує.
1) Оскільки , а
збігається, то на підставі теореми збігається і інтеграл
;
|



Збіжний інтеграл назвемо абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл
. У випадку, коли інтеграл
збігається, а інтеграл
розбігається, будемо казати, що інтеграл
збігається умовно. Слід зазначити, що із збіжності інтеграла
випливає збіжність інтеграла
.
Приклад 4. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ;б)
;в)
;
г) ;д)
.
Розв’язання.а) =
, тобто, збігається.
а.1)
б) , збігається.
б.1)
в) , збігається.
в.1) .
г) ,збігається.При
обчисленні границі була використана формула
(див. посібник,с.145) , зміст якої в тому, що показникова функція
зростає швидше степеневої функції
.
г.1) =
.
д) ,збігається.
д.1) .