ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Основні поняття.Диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальні рівняння (ДР) застосовують для розв’язання різних задач математики, природознавства, техніки, економіки.
Означення 1. Рівняння, яке пов’язує незалежну змінну з невідомою функцією
та її похідними різних порядків, називається диференціальним рівнянням.
Приклад 1. а) ; б)
; в)
.
Означення 2.Найвищий порядок похідної, яка входить в рівняння, називається порядком ДР.
Рівняння з прикладу 1 а) –1-го порядку; б)– 3-го; в) –2-го.
Загальний вигляд ДР 1-го порядку
.
Якщо його можна розв’язати відносно , то вигляд ДР
(1)
називається нормальною формоюі ДР першого порядку . Припускається, що - відома функція, яка задана на деякій множині
площини
.
Означення 3. Розв’язком (частинним розв’язком) ДР (1) називається будь-яка функція , яка при підстановці її в це рівняння обертає його на тотожність відносно .Рівняння , яке визначає цей розв’язок як неявну функцію називається інтегралом (частинним інтегралом) ДР (1).Графікрозв’язку називається інтегральною кривою.
Приклад 2. а)Розв’язком ДР
(2)
є функція , де С – довільна стала, оскільки після підстановки цього
та
в рівняння (2) одержимо тотожність
.
б)Розв’язком ДР
(3)
є функція , де
– довільні сталі, оскільки
,
та після підстановки цього
в рівняння (3) одержимо тотожність
.
Розв’язок (інтеграл) ДР, який залежить від довільних сталих, називається загальним розв’язком (інтегралом) ДР.Функції ,
є відповідно загальними розв’язками ДР (2), (3).
Розв’язок (інтеграл) ДР, який відповідає конкретним значенням довільних сталих, називається частинним розв’язком (інтегралом) ДР.
Означення 4.Розв’язок ДР.(1) задовольняє початковій умові
, якщо
,
– задані числа;
.
З геометричної точки зору це означає, що інтегральна крива проходить через точку .
Приклад 3 . Розглянемо ДР . Зрозуміло, що розв’язання цього рівняння зводиться до знаходження первісної функції
. Тому розв’язком буде функція
,
Рис.ДР_1 | де С – довільна стала. Знайдемо тепер розв’язок, який задовільняє початковій умові ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Має місце теорема.
Теорема 1.( достатня умова єдиного розв’язку задачі Коші).Якщо функція неперервна в області
і має в цієї області обмежену частинну похідну
, а точка
то задача з початковою умовою має єдиний розв’язок.
Розв’язок задачі Коші є частинним розв’язком ДР (1).