Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Таку назву мають рівняння вигляду:
. (5)
Припустимо, що 
. Тоді рівняння (3) після множення обох частин (3) на 
можна
записати у еквівалентній диференціальній формі, у якої змінні відокремлені:
.
Нехай 
- первісна функції 
, а 
- первісна функції 
. Тоді з останнього рівняння маємо, що 
і, отже,
.
Щоб знайти розв’язок явно, з останнього співвідношення, слід знайти 
як функцію 
.
. Приклад 4. Розв’язати задачу Коші 
.
Розв’язання. Це рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Припустимо, що 
і відокремим змінні: 
.
Проінтегруємо отриману формулу: 
Розв’язуємо задачу Коші: 
. 
.
При відокремлюванні змінних (при діленні на 
) був втраченим розв’язкок 
. Він отримується з попереднього розв’язку при 
. Отже, будь який розв’язок розглянутого рівняння дає формула
,де С – довільна стала. У подальшому ми для простоти будемо вважати та не досліджувати випадок . 
.
Приклад 5.Розв’язати задачу Коші для ДР
а) 
б) 
в) 
г) 
.
Розв’язання.а) 
Відокремлюємо змінні та інтегруємо
(*)
Саме в цьому місці розв’язку застосовуємо початкову умову 
. В вираз (*) замість 
підставляємо 0. а замість 
підставляємо 1. Одержимо 
. Підставляємо в (*) 
. Підносимо обидві частини останньої рівності у степень 
.
б) Розв’язання.Буде застосована формулазаміни змінної4. 
.
Відокремлюємо змінні та інтегруємо 
.
Застосуємо початкову умову і знайдемо 
.
, 
. в) Розв’язання. Відокремлюємо змінні та інтегруємо 
Застосуємо початкову умову і знайдемо .
, 
.
u) Розв’язання. Відокремлюємо змінні та інтегруємо 
, 
.
Застосуємо початкову умову і знайдемо
, 
.
3. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку (ЛДР)
ДР. називається лінійним, якщо невідома функція та її похідна 
входять в нього лінійно(тобто в першому степені):
Якщо 
, то рівняння називається лінійним однорідним, а якщо 
, то лінійним неоднорідним.
Розв’язок лінійного рівняння відшукують у вигляді добутку двох невідомих функцій
Якщо підставити останні вирази в рівняння (1)
та підібрати невідому функцію 
так, щоб квадратна дужка обернулась на нуль, то розв’язок ЛДРзводиться дорозв’язку системи двох ДР з відокремлюваними змінними:
(2)
Приклад 6.Розв’язати задачу Коші для ЛДР
Розв’язання. Приймаємо 
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
, ( 
)
де перше рівняння таке ж як початкове, але однорідне та відносно функції 
.
2.Розв’язок однорідного вівняння:
. Інтегруємо 
. Обираємо частинний розв’язок при С=0: 
.
3. Підставляємо знайдену функцію в ліву частину 2-го рівняння системи ( ) та знаходимо функцію 
:
, 
, 
. Інтегруємо 
4.Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ , 
у вираз 
та одержуємо
загальний розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
, 
.
Приклад 7.Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання.Приймаємо
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
.
2. Розв’язуємо однорідне рівняння:
3. Підставляємо 
в ліву частину 2-го рівняння системи ( 
) та знаходимо функцію :
4. Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ 
, 
у вираз та одержуємо загальний розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
, 
.
Приклад 8.Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання.Приймаємо
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
.
2. Розв’язуємо однорідне рівняння:
3. Підставляємо 
в ліву частину 2-го рівняння системи ( 
) та знаходимо функцію :
4. Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ 
, 
у вираз та одержуємо загальний розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
, 
.
Приклад 9.Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання.Приймаємо
1. Приходимо за формулою (2) до системи двох ДР
.
2. Розв’язуємо однорідне рівняння:
3. Підставляємо в ліву частину 2-го рівняння системи ( 
) та знаходимо функцію :
= 
4. Підставляємо знайдені у п.п.3,4 функціЇ , 
у вираз та одержуємо загальний розв’язок ЛДР
5. Розв’язуємо задачу Коші: ( застосуємо початкову умову і знайдемо конкретне значення сталої С)::
, 
.