Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний
Для теории сигналов и их обработки важное значение разложение заданной функции 
по различным ортогональным системам функций 
.
Бесконечная система действительных функций:
(1.3)
называется ортогональной на отрезке 
,
если: 
,при 
(1.4)
При этом предполагается, что: 
(1.5)
т.е. что никакая из функций рассматриваемой системы (1.3) не равна тождественно нулю.
Условие (1.4) выражает попарную ортогональность функций системы (1.3). Величина
(1.6)
называется нормой функции 
.
Функция 
, для которой выполняется условие:
,
(1.7)
называется нормированной функцией, а система нормированных функций 
, в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой.
Если функции непрерывны, тогда произвольная кусочно-непрерывная функция 
, для которой выполняется условие:
, может быть представлена в виде суммы ряда:
(1.8)
Умножим обе части выражения (1.8) на и проинтегрируем в пределах :
Все слагаемые вида 
при обращаются в нуль в силу ортогональности функций 
и . В правой части остается одно слагаемое:
, что позволяет написать
Откуда следует важное выражение:
(1.9)
Ряд (1.8), в котором координаты 
определяются по формуле (1.9), называется обобщенным рядом Фурье. По данной системе . Совокупность коэффициентов 
называется спектром сигнала. 
в ортогональной системе и полностью определяет етот сигнал.
Для системы функций принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом:
- условие ортогональности: 
, при ;
- квадрат нормы функции: 
;
- коэффициенты Фурье: 
.
В этих выражениях 
обозначает функцию, комплексно-сопряженную функции .
Применительно к сигналам 
, являющимся функциями времени выражение (1.8) будет записываться в форме:
Квадрат нормы функции :
Таким образом, энергия сигнала:
а при использовании ортонормированной системы функции 
:
Очевидно, что средняя за время 
мощность сигнала: 
Наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций-синусов и косинусов, Во-первых, гармонические функций (гармонические колебания) являются единственной функцией времени сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цеп. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи.