Примеры. 1.Вычислить частное значение функции:
1.Вычислить частное значение функции:
а) 
при 
б) 
в 
2.Построить область изменения переменных 
и 
, заданную неравенствами:
а) 
, 
.
Этим неравенствам удовлетворяют координаты каждой точки, находящейся внутри и на границе прямоугольника, стороны которого лежат на прямых 
, 
. Этот прямоугольник и есть область изменения переменных и (рис. а). Такая область, в которую входит и ее граница, называют замкнутой.
б) 
.
Данная область – совокупность всех точек, лежащих внутри эллипса 
. Область открытая (рис. б).
в) 
.
Данная область – круговое кольцо, ограниченное окружностями 
и 
с общим центром в начале координат и радиусами, равными 2 и 3. Область замкнутая (рис. в).
г) 
.
Открытая область, ограниченная биссектрисой первого координатного угла и осью абсцисс (рис. г).
3.Найти область определения функций:
а) 
.
. Геометрическое изображение этой функции (график) – это плоскость, пересекающая координатные оси в точках 
, 
и 
.
б) 
.
Из условия, что знаменатель не должен обращаться в нуль: 
находим 
и 
одновременно. Отсюда: область определения данной функции – вся числовая плоскость, за исключением точки 
.
в) 
.
Из условия, что подкоренное выражение быть неотрицательным: 
находим 
. Отсюда: область определения данной функции – круг с центром в точке и радиусом 
. (Внутри круга подкоренное выражение положительно, на его границе – равно нулю, а вне круга – отрицательно.)
Графическим изображением данной функции является полусфера, расположенная над плоскостью хОу (рис.2).
Рис. 2.
в) 
.
Область определения этой функции находим из условия 
. Точки, удовлетворяющие этому неравенству, лежат внутри I и III квадрантов.
г) 
.
Область определения этой функции – вся числовая плоскость, за исключением прямой 
.
е) 
.
Область определения этой функции – совокупность значений и , удовлетворяющих неравенствам 
. На плоскости хОу эта область представляет собой полосу, ограниченную параллельными прямыми 
и 
.
2. Предел ФНП. Непрерывность
1°. Расстояние между двумя точками в 
-пространстве задается равенством
2°. Окрестностью точки 
радиуса 
называется совокупность всех точек 
, которые удовлетворяют условию
.
3°. Число А называется пределом функции 
в точке 
:
если абсолютное значение разности 
будет меньше любого наперед заданного положительного числа e > 0, когда расстояние 
меньше некоторого положительного числа d (зависящего от e).
Для функции двух переменных записывают: 
4°. Для непрерывности функции в точке необходимо выполнение следующих условий:
1) функция должна быть определена в точке и вблизи нее;
2) функция должна иметь предел, когда точка 
стремится к произвольным способом;
3) этот предел должен быть равен значению функции в точке :
(1)
5°. Функция , непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.
6°. Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрывафункции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1) Функция не определена в точке .
2) Не существует предел 
.
3) Этот предел существует, но он не равен 
.
7°. Функция двух переменных 
может иметь множество точек разрыва. Если они составляют линию, то она называется линией разрыва функции.
Например, функция 
разрывна в каждой точке окружности 
. Эта окружность есть линия разрыва данной функции.