Примеры. 1. Вычислить приближенно значение:
1. Вычислить приближенно значение:
а) .
Предположим, что - это частное значение функции
в точке
и что вспомогательная точка -
, тогда:
;
,
Пользуясь формулой приближенных вычислений функции, получаем
.
б)
Пусть данное выражение есть частное значение функции в точке
. В качестве вспомогательной точки возьмем
. Тогда
,
;
,
Таким образом, .
в)
Пусть данное выражение есть частное значение функции при x = 1, y = 2, z = 1.
Из этого выражения определим
,
;
Найдем значение функции .
Находим частные производные и их значения во вспомогательной точке:
Полный дифференциал функции u равен:
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
2. Линеаризовать функцию в окрестности точки
.
Найдем значения функции и ее частных производных в указанной точке:
;
.
Пользуясь формулой линеаризации функции, получаем
.
7. Дифференцирование сложных функций
1°. Переменная называется сложной функцией нескольких переменных
, если она задана через посредство промежуточных аргументов
:
,
где ,
,…,
.
Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:
(1)
………………
Если, в частности, все промежуточные аргументы будут функциями одной независимой переменной
, то и
будет сложной функцией только от
. Производная такой сложной функции (от одной независимой переменной) называется полной производной и определяется формулой:
(2)
Формула (2) получается из формулы для полного дифференциала функции путем деления на
.