Примеры. 1.Найти частные производные функции:
1.Найти частные производные функции:
а) 
.
Считая 
функцией одной переменной – аргумента 
, находим
;
аналогично для случая, если функция одной переменной – аргумента 
:
б) 
.
Считая 
функцией одной переменной – только аргумента , затем только и далее только , находим
;
;
.
в) 
.
Перепишем функцию в виде 
и найдем частные производные, полагая
и 
.
и 
.
2.Вычислить значения частных производных функции при указанных значениях аргументов:
а) 
; 
, 
.
; 
; 
.
3.Проверить, что данная функция 
удовлетворяет уравнению 
.
Преобразуем функцию и найдем ее частные производные.
; 
Подставим найденные частные производные и функцию в преобразованном виде в исходное уравнение:
Тождество доказано. Это означает, что данная функция удовлетворяет указанному уравнению (является его решением).
5. Дифференциалы ФНП. Геометрический смысл полного дифференциала
1°. Частным дифференциалом по х функции 
называется главная часть соответствующего частного приращения 
, линейная относительно приращения Dх (или, что то же, дифференциала 
).
Аналогично определяются частные дифференциалы функции по каждому из остальных аргументов. Обозначаются, соответственно, 
, 
, 
…
Из определения частных производных следует
, 
, 
…
2°. Для функции выражение
(1)
называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.
здесь 
Тогда получаем
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
Если функция определена в окрестности точки 
и имеет непрерывные частные производные в этой точке, то полное приращение можно выразить в виде
или
,
где a1…an – бесконечно малые функции при Dх®0, Dу®0 … Dt®0 соответственно;
; 
.
3°. Полным дифференциаломфункции называется главная часть ее полного приращения (1), линейная относительно приращений ее аргументов 
(или, что то же, дифференциалов 
).
Полный дифференциалфункции , если он существует, равен сумме всех ее частных дифференциалов
4°. Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке она имеет полный дифференциал. Если функция дифференцируема в каждой точке области, то она называется дифференцируемой в этой области.
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.