Примеры. Построить линии уровня функций, соответствующие значениям
Построить линии уровня функций, соответствующие значениям .
а) .
Полагая , получим уравнения соответствующих линий уровня:
,
,
,
и
.
Построив эти линии в декартовой системе координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого координатных углов (рис.1)
б) .
Напишем уравнения линий уровня:
,
,
,
и
.
Построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (рис.2)
в) .
Линии уровня этой функции ,
,
,
и
представляют собой параболы, симметричные относительно Оу с общей вершиной в начале координат (рис. 3).
2. Производная по направлению
Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в данном направлении.
Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора
вводят понятие производной поля по направлению.
Рассмотрим функцию в точке
и точке
.
Проведем через точки и
вектор
. Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусамивектора
.
Расстояние между точками и
на векторе
обозначим
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
Далее предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:
,
где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .
Из геометрических соображений очевидно:
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:
;
Из этого уравнения следует следующее определение:
1°. Пусть задана точка и вектор
, выходящий из точки
(рис.). Производной функции
по направлению вектора
называют предел отношения разности
к величине направленного отрезка
, когда точка
стремится к точке
, оставаясь на прямой
:
.
Производная от функции по направлению
обозначается:
или
.
Эта производная вычисляется по формуле (при условии, что функция дифференцируема в точке М):
, (1)
где - нормальный вектор к поверхности уровня функции
,
или
- единичный вектор (т.е. его длина равна единице), характеризующий направление вектора
.
- направляющие косинусывектора
.
Заметим, что
1) величина является скалярной. Она лишь определяет направление вектора
.
2) В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет бесконечное множество производных по различным направлениям.