Примеры. 1. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точки через точку ?
1. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точки
через точку
? В каком направлении должна двигаться точка М при переходе через точку
, чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?
Наибольшая, по абсолютной величине, скорость изменения функции при переходе точки М через точку Р численно равна модулю градиента функции в точке Р. При этом функция будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка М при переходе через точку Р двигаться по направлению градиента функции в точке Р или по прямо противоположному направлению. Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции и ее градиент в любой точке:
(2)
Далее находим градиент в указанных точках, подставив их координаты в выражение (2):
1) ,
его модуль, численно равный искомой наибольшей скорости возрастания данной функции при переходе М через точку М0, равен:
.
2) ,
Искомый вектор, имеющий прямо противоположное направление, будет
.
Чтобы функция убывала с наибольшей скоростью, при переходе через точку М1 точка М должна двигаться в направлении вектора .
[1] Предполагается, что функция — однозначная непрерывная функция , имеющая непрерывные частные производные первого порядка , , .