Розв’язання завдань з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії».
Завдання 1.
Задано матриці 
і 
.
1. Обчислити матриці 
, 
, 
, 
.
2. Записати матричне рівняння 
, де 
, у вигляді системи лінійних рівнянь.
3. Розв’язати систему:
а) матричним методом;
б) за формулами Крамера;
в) методом Гаусса.
Розв’язання. 1. Транспонуємо матрицю 
:
і знайдемо матриці 
, 
, 
і 
:
;
;
;
2. Запишемо матричне рівняння 
:
і виконаємо множення матриць в лівій частині рівняння
З рівності матриць однакового розміру маємо систему лінійних рівнянь
Розв’яжемо отриману систему вказаними в умові методами:
а) матричним методом.
Розв’язком матричного рівняння є матриця 
, де 
- обернена матриця, яка обчислюється за формулою
.
Обчислимо визначник системи
Оскільки 
, то обернена матриця існує. Обчислимо її елементи 
- алгебраїчні доповнення елементів матриці 
.
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Запишемо обернену матрицю і знайдемо розв’язок системи:
,
.
Остаточно маємо 
. Звідки 
, 
, 
.
б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера.
Оскільки головний визначник системи вже обчислено, то обчислимо допоміжні визначники:
;
;
;
За формулами Крамера отримаємо наступний розв’язок системи ( 
):
; 
; 
.
в) Розв’яжемо систему методом Гаусса.
Поміняємо місцями перше та друге рівняння:
Нове перше рівняння системи приймемо за перше ведуче рівняння системи. Виключимо 
з другого і третього рівнянь. Для цього помножимо перше рівняння на 
і 
і по черзі додамо до другого і третього рівнянь.
|
|
|
Отримаємо 
Поділимо друге рівняння на 
і приймемо його за друге ведуче рівняння:
Виключимо 
з третього рівняння. Для цього помножимо друге рівняння на 19 і додамо до третього:
|
|
Прямий хід метода Гаусса закінчено. Обернений хід: з третього рівняння знаходимо 
, з другого - 
, з першого - 
:
Розв’язок системи: 
.
Відповідь. 
, 
, 
.
Завдання 2.
Задано вектори 
. 
, 
, 
у деякому базисі. Показати, що вектори 
, 
, 
утворюють базис та знайти координати вектора 
у цьому базисі.
Розв’язання. Вектори , , утворюють базис у тривимірному просторі, якщо вони некомпланарні. Щоб перевірити це, знайдемо мішаний добуток цих векторів:
.
Оскільки 
, то вектори , , некомпланарні і утворюють базис, в якому вектор матиме розклад
(2.1)
або
,
де 
, 
, 
- координати вектора в цьому базисі. Для їх обчислення складемо систему рівнянь:
Розв’яжемо систему за формулами Крамера: 
, 
, 
.
,
,
,
.
Отже, 
, 
, 
.
Підставимо 
, 
, 
у формулу (2.1) і одержимо розкладання вектора 
:
.
Відповідь. Вектори 
, 
, 
утворюють базис у тривимірному просторі. Вектор в цьому базисі має розклад .
Завдання 3.
Задано координати вершин піраміди 
: 
, 
, 
. Знайти:
1) кут між ребром 
та гранню 
;
2) площу грані ; 3) об’єм піраміди;
4) рівняння висоти, яку проведено з вершини 
до грані .
Розв’язання. 1) Синус кута між ребром 
та гранню 
обчислимо за формулою
, (3.1)
де 
, 
, 
- координати нормального вектора площини (грані ), а 
, 
, 
- координати напрямного вектора прямої .
Складемо рівняння грані як рівняння площини, що проходить через три точки 
, 
, 
:
. (3.2)
Підставимо в рівняння (3.2) координати точок 
, 
, 
:
або 
.
Розкладаючи визначник за елементами першого рядка, отримаємо:
,
,
,
,
.
З рівняння площини запишемо координати її нормального вектора
.
Складемо рівняння ребра 
як рівняння прямої, що проходить через точки 
і 
:
.
Отримаємо
або 
.
З цього рівняння маємо координати напрямного вектора ребра : 
, 
, 
.
Підставляючи знайдені координати нормального і напрямного векторів у формулу (3.1), дістанемо
,
.
2) Площу грані 
знайдемо за формулою
,
де координати векторів 
і 
знайдемо, віднімаючи від координат кінця координати початку: 
, 
.
,
,
.
3) Об’єм піраміди обчислимо за формулою
,
де 
, 
. Таким чином,
,
.
4) Рівняння висоти, яку проведено з вершини 
до грані , отримаємо за формулою
,
де 
, 
, 
- координати напрямного вектора висоти.
Оскільки висота піраміди, яку проведено з вершини 
, паралельна нормальному вектору площини 
, то координати останнього можна прийняти за координати напрямного вектора висоти, тобто 
, 
, 
. Тоді рівняння висоти матиме вигляд
або 
.
Відповідь. 1) ; 2) 
;
3) 
; 4) .
Завдання 4.
Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки 
і від прямої 
відносяться як 
.
Розв’язання. Нехай 
- довільна точка лінії, рівняння якої треба скласти. За умовою задачі 
, де 
, 
.
|
|
|
|
|
|
|
Отже, маємо рівняння
або 
.
Перетворимо його:
,
,
,
.
Для доданків з 
виділимо повний квадрат:
,
,
,
,
,
.
Отримали рівняння гіперболи з центром у точці 
і півосями 
, 
.
Відповідь. 
- рівняння гіперболи з центром у точці і півосями , .