Розв’язання завдань з теми «Диференціальне числення функції однієї змінної».
Завдання 1.
Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя.
а) 
.
Розв’язання. При 
чисельник і знаменник дробу прямують до нескінченності. Маємо невизначеність 
. Щоб розкрити її, поділимо чисельник і знаменник дробу на найвищу степінь 
, що зустрічається у членів дробу, тобто на 
:
.
Відповідь. 0.
б) 
.
Розв’язання. При 
чисельник і знаменник дробу прямують до нуля. Отже, маємо невизначеність 
. Для її розкриття позбавимось ірраціональності в чисельнику: помножимо чисельник і знаменник на 
і скористаємось формулою 
. Знаменник розкладемо на множники за формулою 
, де 
і 
- корені квадратного тричлена. Знайдемо їх:
; 
; 
;
, 
.
Отже, 
. Таким чином,
.
Відповідь. 
.
в) 
.
Розв’язання. При обчисленні цієї границі маємо невизначеність . Розкриваючи її, розкладемо знаменник на множники за формулою 
: 
і перепишемо границю так:
.
До останньої границі був застосований наслідок з першої важливої границі.
Відповідь. 
.
г) 
.
Розв’язання. При 
вираз у дужках прямує до 1, а показник степеня до 
. Маємо невизначеність 
. Щоб розкрити її, перетворимо границю так:
.
Відповідь. 
.
Завдання 2.
Знайти похідні функцій.
а) 
.
Розв’язання. За правилом диференціювання складеної функції 
маємо
.
При цьому використовувались наступні формули диференціювання: 
, 
, 
, 
, 
.
Відповідь. 
.
б) 
.
Розв’язання. Це рівняння задає функцію 
неявно. Щоб знайти похідну, продиференціюємо обидві його частини, пам’ятаючи, що є функція змінної 
:
,
,
.
Отримане рівняння розв’яжемо відносно 
:
,
,
,
.
Відповідь. 
.
в) 
.
Розв’язання. Для обчислення похідної такої функції (так званої степенево-показникової) використаємо логарифмічне диференціювання: прологарифмуємо обидві частини рівності . Отримаємо
.
Тепер, продиференціювавши ліву і праву частини останньої рівності, враховуючи, що , знаходимо
,
,
.
Звідки 
або
.
Відповідь. 
.
г) 
, 
Розв’язання. Функція задана параметрично. Її похідна обчислюється за формулою 
.
Знайдемо 
та
. Отже,
.
Друга похідна функції, заданої параметрично, знаходиться за формулою 
. Диференціюємо отриману похідну за змінною 
:
.
За допомогою наведеної вище формули дістанемо
.
Відповідь. 
; 
.
Завдання 3.
Визначити диференціал 
функції 
, якщо 
.
Розв’язання. Диференціал функції 
обчислюється за формулою 
.
.
.
Відповідь. 
.
Завдання 4.
Методами диференціального числення дослідити функцію 
і за результатами дослідження побудувати її графік.
Розв’язання. Задана функція дробово-раціональна. Отже, вона визначена при всіх 
, крім точок 
і 
. Дослідимо поведінку функції в їх околі. Для цього обчислимо односторонні границі при 
і при 
:
;
;
;
.
Знайдені границі говорять про те, що обидві точки є точками розриву другого роду і визначають вертикальні асимптоти, рівняння яких 
і 
.
На інтервалах 
, 
, 
функція неперервна.
Знайдемо точки перетину графіка з осями координат:
а) з віссю 
: якщо 
, то 
;
б) з віссю 
: якщо , то .
Отже, графік функції перетинає координатні осі в точці 
, тобто проходить через початок координат.
Знайдемо інтервали знакосталості функції. Розв’яжемо нерівність 
: 
:
| -- |
| + |
|
|
| -- |
| + |
|
|
Таким чином, 
на інтервалах 
і 
; 
на інтервалах 
і 
. На інтервалах і графік функції розташований вище осі 
, а на інтервалах і нижче осі .
Функція непарна, оскільки
, тому її графік симетричний відносно початку координат. Подальше дослідження можна проводити для 
.
З’ясуємо поведінку функції при 
:
. Отже, горизонтальна асимптота відсутня.
Похилу асимптоту будемо шукати у вигляді 
:
,
Отже, 
- рівняння похилої асимптоти.
Дослідимо функцію на монотонність та екстремум:
1) 
.
2) З рівняння 
знайдемо критичні точки першого роду:
⇔ 
⇒ 
3) Враховуючи непарність функції, встановимо знак першої похідної на інтервалах 
, 
, 
.
|
| + |
| + |
| -- |
|
|
Таким чином, функція зростає на інтервалах , ; спадає на інтервалі . В точці 
функція має максимум, рівний 
.
Знайдемо інтервали опуклості графіка функції і точки перегину:
1) 
.
2) Розв’язуючи рівняння 
, знайдемо критичні точки другого роду:
⇔ 
⇒ 
3) Знак другої похідної встановимо на інтервалах , 
.
|
|
|
|
|
|
Таким чином, на інтервалі графік функції вгнутий, а на інтервалі - опуклий.
Враховуючи непарну симетрію кривої, точка 
є точкою перегину. Точка 
- точка розриву і не може бути точкою перегину.
За результатами дослідження будуємо графік функції для 
. Частина графіка для 
відображається за принципом непарної функції (поворотом на 
відносно початку координат).
|
|
|
|
|
|
|