Розв’язання завдань з теми «Диференціальні рівняння та системи».
Завдання 1.
а) Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння
.
Розв’язання. Подане рівняння – це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Поділимо обидві його частини на добуток 
:
.
Одержимо рівняння
,
яке проінтегруємо
.
Знайдемо окремо кожний інтеграл:
1) 
;
2) 
.
Отже, маємо
,
.
Праву частину отриманого виразу зручно подати як натуральний логарифм сталої 
, тобто 
.
Таким чином,
або
,
звідки
,
а 
- це загальний розв’язок заданого рівняння.
Відповідь. .
б) Знайти загальний розв’язок або загальний інтеграл диференціального рівняння
.
Розв’язання. Перепишемо задане рівняння у вигляді
і помножимо його на 
:
.
В отриманому рівнянні відокремимо змінні. Для цього поділимо обидві частини на 
:
.
Одержимо
.
Тепер проінтегруємо:
.
Знайдемо кожний інтеграл окремо:
1) 
;
2) 
.
Остаточно маємо: 
або 
, де 
, 
, і 
Отримали загальний інтеграл заданого диференціального рівняння.
Відповідь. , .
Завдання 2.
Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
.
Розв’язання. Перетворимо задане рівняння
;
.
Отримали рівняння вигляду 
. Це означає, що задане диференціальне рівняння однорідне (нелінійне). Рзвя’жемо його за допомогою підстановки 
. Тоді 
, 
.
Отже, маємо
,
,
.
В отриманому рівнянні відокремимо змінні
і проінтегруємо
.
Знайдемо окремо кожний інтеграл:
1) 
, 
;
2) 
, 
.
Таким чином,
,
, де 
,
,
, 
.
- загальний інтеграл заданого рівняння.
Відповідь. .
Завдання 3.
Знайти розв’язок задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку
, 
.
Розв’язання. За умовою маємо лінійне рівняння вигляду 
, де 
, 
. Розв’яжемо його за допомогою підстановки 
, де 
, 
- невідомі функції змінної 
, причому одна з них довільна. Похідна цієї функції дорівнює 
. Підставимо цей вираз і вираз у задане рівняння:
,
.
Знайдемо функцію 
такою, щоб
, тоді 
.
Розв’яжемо ці два рівняння.
1) . Перепишемо його у вигляді 
і відокремимо у ньому змінні:
.
Проінтегруємо це рівняння
,
і одержуємо 
. Довільну сталу ми опустили, оскільки досить отримати частинний розв’язок рівняння .
Підставимо тепер вираз у рівняння і розв’яжемо його:
2) 
, 
.
Це рівняння також є рівнянням з відокремлюваними змінними:
,
,
.
Підставимо знайдені вирази 
і 
у формулу . Отримаємо загальний розв’язок заданого диференціального рівняння
.
Виділимо з цього розв’язку частинний, що задовольняє початкову умову , тобто розв’яжемо задачу Коші:
,
.
Таким чином, розв’язок задачі Коші
.
Відповідь. .
Завдання 4.
Знайти загальний розв’язок або загальний інтеграл диференціального рівняння
.
Розв’язання. Задане рівняння не містить явно змінну , тобто це рівняння вигляду 
. Покладемо в ньому 
, тоді 
. Отримаємо диференціальне рівняння першого порядку
або
.
Звідки 
або 
.
Якщо 
, то 
. Ця функція є розв’язком заданого рівняння, оскільки перетворює його на тотожність ( 
, 
).
Розв’яжемо рівняння 
, яке є рівнянням з відокремлюваними змінними:
,
,
, 
,
,
,
,
.
Виконуючи обернену заміну 
, отримаємо рівняння
,
в якому відокремимо змінні та проінтегруємо :
,
,
,
,
,
або 
.
Отримали загальний розв’язок даного рівняння.
Відповідь. , .
Завдання 5.
Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння
.
Розв’язання. Задане диференціальне рівняння неоднорідне другого порядку зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду. Йому відповідає однорідне рівняння
.
Його характеристичне рівняння
має корені: 
, 
( 
).
Оскільки корені характеристичного рівняння комплексні, то загальний розв’язок однорідного рівняння матиме вигляд
,
тобто
.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати в залежності від вигляду правої частини даного рівняння, тобто
,
де 
, оскільки серед коренів характеристичного рівняння нема рівних нулю.
.
Знайдемо 
і 
:
, 
.
Підставимо і 
у дане рівняння:
,
.
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях :
; 
, 
.
Підставимо знайдені значення коефіцієнтів у формулу частинного розв’язку:
.
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд
,
а заданого рівняння
.
Відповідь. .
Завдання 6.
Знайти загальний розв’язок системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
методом характеристичного рівняння.
Розв’язання. Для заданої системи лінійних диференціальних рівнянь запишемо характеристичне рівняння
і розв’яжемо його
,
,
,
, 
.
Частинні розв’язки системи будемо шукати у вигляді:
, 
; 
, 
.
Щоб знайти 
і 
, складемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
.
При 
маємо систему
.
Система має нескінченну множину розв’язків. Знайдемо один з них. Нехай 
, тоді 
, і частинні розв’язки системи будуть:
, 
.
При 
маємо систему
.
В цьому випадку покладемо 
, тоді 
, і частинні розв’язки матимуть вигляд
, 
.
Загальний розв’язок системи знайдемо за формулою
.
Отже, маємо
.
Відповідь. .
Завдання 7.
Розв’язати методом виключення невідомих систему диференціальних рівнянь, що задовольняють нульовим початковим умовам
.
Розв’язання. Продиференціюємо перше рівняння системи
,
в яке замість 
підставимо вираз для нього з другого рівняння заданої системи:
.
В цьому рівнянні 
замінимо виразом, який знайдемо з першого рівняння системи:
. (1)
Отримаємо
або
. (2)
Це диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Відповідне однорідне рівняння має вигляд
. (3)
Його характеристичне рівняння
має корені 
, 
- дійсні та різні. Отже, загальний розв’язок однорідного рівняння (3) має вигляд
. (4)
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2) будемо шукати у відповідності з правою частиною цього рівняння у вигляді
. (5)
Знайдемо першу та другу похідні функції 
:
, (6)
. (7)
Підставимо в рівняння (2) замість , 
, 
відповідні вирази з формул (5), (6), (7):
або
.
Порівнюючи коефіцієнти при 
і 
, дістанемо систему рівнянь:
,
з якої 
, 
.
Таким чином, частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2) такий
,
а загальний розв’язок має вигляд
. (8)
Знайдемо 
:
.
Підставимо вирази для 
і у формулу (1):
(9)
Таким чином, маємо загальний розв’язок заданої системи:
Тепер розв’яжемо задачу Коші, використовуючи знайдені розв’язки і нульові початкові умови. Побудуємо систему рівнянь:
або
.
Підставляємо знайдені значення довільних сталих в рівності (8) і (9) і одержуємо розв’язок задачі Коші у вигляді:
.
Відповідь. .