Розв’язання завдань з теми «Невизначений та визначений інтеграли».
Завдання 1.
Знайти невизначені інтеграли. У завданнях а), б), в), г) результати перевірити диференціюванням.
а) 
.
Розв’язання. Нехай 
, тоді 
або 
. Отже, маємо:
.
Перевірка. 
.
Відповідь. 
.
б) 
.
Розв’язання. Оскільки 
, то зробимо заміну 
. Тоді 
, і
.
Перевірка. 
.
Відповідь. 
.
в) 
.
Розв’язання. До заданого інтеграла застосуємо метод інтегрування частинами, скориставшись формулою 
. Покладемо 
, а 
. Тоді 
, а 
. За формулою інтегрування частинами маємо:
.
Перевірка. 
.
Відповідь. 
.
г) 
.
Розв’язання. Підінтегральний раціональний дріб неправильний. Виділимо з нього цілу частину діленням чисельника на знаменник:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Маємо 
. Розкладемо тепер дріб 
на елементарні:
1) знайдемо корені квадратного тричлена 
:
;
; 
, 
.
2) за формулою 
маємо
.
3) 
. Знайдемо невизначені коефіцієнти 
і 
: 
. З рівності дробів з однаковими знаменниками маємо 
.
Якщо 
, то 
, 
.
Якщо 
, то 
, 
.
Отже, 
, а підінтегральний дріб матиме вигляд 
. Інтегруємо цей вираз
.
Перевірка. 
.
Відповідь. 
.
д) 
.
Розв’язання. Перетворимо підкореневий вираз:
.
Нехай 
, тоді 
, 
, і заданий інтеграл матиме вигляд:
. Обчислимо кожний із отриманих інтегралів окремо.
. Скористаємось формулою 
.
.
.
Таким чином, 
, де 
.
Відповідь. 
.
е) 
.
Розв’язання. Перетворимо добуток тригонометричних функцій у суму за формулою 
, а потім проінтегруємо одержаний вираз за відомими формулами з таблиці інтегралів і з використанням властивостей інтегралів:
.
Відповідь. 
.
є) 
.
Розв’язання. До поданого інтеграла застосуємо підстановку 
. Тоді 
, а 
; 
, 
. Одержимо
.
Відповідь. 
.
ж) 
.
Розв’язання. Зведемо заданий інтеграл до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки 
. Тоді 
, а 
. Дістанемо
.
Повертаючись до змінної 
, одержуємо
.
Відповідь. 
.
Завдання 2.
Знайти площу фігури, обмеженої параболою 
і прямою 
.
Розв’язання. Побудуємо фігуру, площу якої треба обчислити. Для цього знайдемо координати вершини параболи:
; 
.
Таким чином, 
.
Вісь 
парабола перетинає в точці 
, а вісь 
в точках 
і 
, координати яких знайдено з рівняння 
.
|
| -2 |
|
|
Координати точок перетину параболи і прямої знайдемо, розв’язавши систему рівнянь:
; 
; 
; 
; 
.
Одержали 
, 
. Абсциси цих точок є границями інтегрування при обчисленні площі побудованої фігури 
. Таким чином,
.
Відповідь. 
.
Завдання 3.
Знайти об’єм тіла обертання відносно горизонтальної асимптоти для кривої 
, 
.
Розв’язання. Для кривої горизонтальною асимптотою є вісь 
, оскільки 
. Об’єм тіла, утвореного обертанням кривої 
навколо осі , обчислюється за формулою
,
де за умовою задачі 
, 
, 
. Отже, маємо
.
Відповідь. 
.
Завдання 4.
Знайти довжину дуги кривої 
між точками її перетину з віссю .
Розв’язання. Знайдемо абсциси точок перетину даної кривої з віссю 
. Для цього розв’яжемо рівняння:
: 
, 
.
Довжину дуги кривої між точками з абсцисами 
і 
обчислимо за формулою 
. Складемо вираз 
.
.
.
. Знайдемо невизначений інтеграл
. Отже, 
.
Відповідь. 
.