Систематические погрешности

Так как полностью исключить систематические погрешности невозможно, то возникает задача оценивания границ или других параметров этих погрешностей. Как правило, систематическая погрешность результата измерения оценивается по ее состав-ляющим. Эти составляющие бывают либо известны заранее, либо могут быть определены с помощью вспомогательных данных, например, вычислены для каждой из влияющих величин. В качестве их могут выступать и погрешности определения поправок. Неисключенная систематическая погрешность характеризуется границей каждой ее составляющей.

В связи с этим возникает задача суммирования составляю-щих систематической погрешности. При этом составляющие должны рассматриваться как случайные величины и суммироваться методами теории вероятностей, что предполагает знание функции распределения этих составляющих. Однако, закон распределения элементарных составляющих погрешности, как правило, неизвестен. Поэтому при суммировании руководствуются следующим практи-ческим правилом, основанном на здравом смысле и интуиции:

1. если известна оценка границ погрешности, то ее распределение следует считать равномерным;
2. если же известна оценка СКО погрешности, распределение следует считать нормальным.

Применение этого правила позволяет статистически суммировать составляющие систематической погрешности. В соответствии с ним при отсутствии дополнительной информации неисключенные остатки систематической погрешности рассматриваются как случайные величины, имеющие равномерное распределение.

Границы неисключенной систематической погрешности Q при числе слагаемых большим или равным 4 вычисляются по формуле:

где - граница i-ой составляющей погрешности; k - коэффициент, определяемый доверительной вероятностью. При Р= 0,95 k = 1.1, при Р= 0,99 k = 1,4.

При числе слагаемых меньших или равных 3 значения суммируются арифметически по модулю. Если же суммировать НСП арифметически при любом числе слагаемых, то полученная оценка будет хотя и надежной, но завышенной.

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности.

4.7 Методы обработки результатов прямых измерений

Основные положения методов обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями определены в ГОСТ 8.207-76.

За результат измерения принимают среднее арифмети-ческое данных n наблюдений, из которых исключены систематичес-кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-дений после исключения из них систематических погрешностей принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат i–го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих исправленных результатов, которое принимается за результат измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при нормальном распределении данных наблюдений.

Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина результат наблюдения иногда применяют термин результат отдельного измерения, из которого исключены систематические погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки результатов.

При статистической обработке групп результатов наблюдений следует выполнять следующие операции:

1. Исключить из каждого наблюдения известную систематическую погрешность и получить исправленный результат отдельного наблюдения x.
2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

Рў

1. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения

группы наблюдений:

Проверить наличие грубых погрешностей – нет ли значений , которые выходят за пределы ±3S. При нормальном законе распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни одно из значений этой разности не должно выйти за указанные пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения соответствующие значения и заново повторить вычисления и оценку S.

1. Вычислить оценку СКО результата измерения (среднего

арифметического)

1. Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Существуют различные приближенные методы проверки нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Доверительные границы случайной погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму результатов наблюдений. Математические методы проверки нормальности распределения рассматриваются в специальной литературе.

1. Вычислить доверительные границы e случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения

где t_q - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений и доверительной вероятности. Например, при n = 14, P = 0,95 t_q = 2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к указанному стандарту.

1. Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений Q (по формулам раздела 4.6).
2. Проанализировать соотношение Q и :

Если , то НСП по сравнению со случайными погрешностя-ми пренебрегают, и граница погрешности результата D = e.. Если > 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата D = Θ. Если оба неравенства не выполняются, то границу погрешности результата находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формуле: , где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и НСП; S_å - оценка суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО вычисляют по формуле:

.

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:

.

Доверительная вероятность для вычисления и должна быть одной и той же.

Погрешность от применения последней формулы для композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной вероятности 0,99.

9. Записать результат измерений. Написание результата измерений предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать измерения, когда получение значения измеряемой величины является конечной целью, и измерения, результаты которых будут использоваться для дальнейших вычислений или анализа.

В первом случае достаточно знать общую погрешность результата измерения и при симметричной доверительной погреш-ности результаты измерений представляют в форме: , где

где – результат измерения.

Во втором случае должны быть известны характеристики составляющих погрешности измерения – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения , границы НСП , число выполненных наблюдений . При отсутствии данных о виде функций распределения составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме:

Если границы РќРЎРџ вычислены РІ соответствии СЃ Рї.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.

Оценки , и производные от их величины могут быть выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного значения данной величины к результату измерения. При этом вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с использованием величин, выраженных только в абсолютной или в относительной форме.

• ⇐ Предыдущая
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 789
• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15
• 16
• Следующая ⇒