Формула Ейлера
Формула Ейлера має вигляд:
, (1.5)
де 
будь-яке дійсне число.
Зміст цієї рівності в тому, що вона визначає експоненту (за основою 
) з чисто уявним показником, точніше, права частина в (1.5) просто позначена через 
, але це виправдано тим, що введений таким чином символ 
буде володіти властивостями експоненти в дійсній області.
За допомогою формул §§4.14,4.15,4.3 (приклад 3) безпосередньо перевіряються слідуючі властивості:
( 
ціле); 
.
Приклад. Обчислити 
.
Розв’язання. 
4.20. Експонента ez
Нехай 
. Покладемо 
. Ця рівність є означенням експоненти з будь-яким показником.
Основні властивості:
( 
ціле); 
Для доведення використовуються властивості експоненти з дійсними і чисто уявними показниками (див.§1.17).
Приклад 1. Знайти 
.
Розв’язання. Якщо 
то 
Відповідь: 
Приклад 2. Обчислити 
.
Розв’язання. 
Приклад 3. Показати, що якщо 
комплексне число, 
то 
Розв’язання. Нехай 
Очевидно, що 
Залишилось зауважити, що границя змінної величини дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли границя її модуля дорівнює нулю.