Параметричне рівняння ліній
Нехай вектор в просторі задається своїми проекціями, які залежать від деякого параметра
, тобто
Очевидно, що (47) можна записати у вигляді
Якщо змінній надати певного значення
=
, то за формулами (48) знайдемо відповідні значення
. Множина точок
може утворювати деяку лінію. Тому говорять, що рівняння (48) параметрично описують лінію.
Задача
1.З початку координат з швидкістю величиною , яка утворює з віссю
кут
, рухається точка під дією сили земного тяжіння. Знайти закон руху точки.
Розв’язання. Нехай вектор швидкості , а його величина
(див. рис. 41).
Якщо б точка рухалась вільно, тільки з швидкістю , то за
секунд вона б перемістилась в положення
. Але точка перебуває ще й під дією сили земного тяжіння, тому вона з положення
опуститься в положення точки
і її ордината буде
Рис. 41.
Проекцією точки чи
на ОХ є точка Р, тому
або ж
. Отже, закон руху
Якщо із системи (49) виключити , то
Як бачимо парабола.
Розглянемо ще деякі приклади
Коло.
Із (50)
Рис. 42.
– канонічне рівняння кола.
3. Еліпсможна записати у вигляді
Із (51)
4. Циклоїда. – це траєкторія, яку описує фіксована точка кола, яке котиться вздовж прямої без ковзання.
Нехай радіус кола, а початкове положення фіксованної точки збігається з початком координат. При повороті на кут
ця точка зайняла положення точки
(див. рис. 43).
Рис. 43.
Шлях
, пройдений колом дорівнює довжині дуги
. Із
Отже
Остаточно
– параметричне рівняння циклоїди.
5. Гвинтова лінія– це траєкторія точки, яка рухається по циліндричній поверхні паралельно рівномірно з швидкістю
, а циліндрична поверхня при цьому обертається з кутовою швидкістю
– радіус циліндра (див. рис. 44). Позначимо через
час руху, тоді
Рис. 44.