Гіпербола
Означення. Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней яких від двох заданих точок, фокусів, є величина стала і дорівнює 
.
По аналогії з еліпсом фокуси розміщуємо в точках 
,
(див. рис. 25-4).
Рис. 25-4.
Оскільки, як видно з рисунка, можуть бути випадки 
і 
, то згідно означення 
.
Відомо, що в трикутнику різниця двох сторін менша третьої сторони, тому , наприклад, з 
маємо
Отже, для гіперболи 
.
Далі запишемо значення виразів 
і 
через координати точок
Піднесемо до квадрата обидві частини і після подальших перетворень знайдемо
Пропонуємо завершити самостійно 
Гіпербола симетрична відносно координатних осей, тому, як і для еліпса, досить побудувати її графік в першій чверті, де 
. Область визначення для першої чверті 
.
При 
маємо одну із вершин гіперболи 
. Друга вершина 
. Якщо 
, то із (40) 
, – дійсних коренів немає. Говорять, що 
і 
– уявні вершини гіперболи. Із співвідношення випливає, що при досить великих значеннях 
має місце наближена рівність 
. Тому пряма 
є лінією, відстань між якою і відповідною точкою гіперболи прямує до нуля при 
.
Пряма називається асимптотою гіперболи. Згідно з симетрією існує ще одна асимптота 
.
Для побудови гіперболи необхідно відкласти на координатних осях відрізки довжиною 
на 
по обидва боки від точки 
і аналогічно відкласти 
по 
.
Рис. 26.
Після цього побудувати прямокутник зі сторонами паралельними координатним осям (див. рис. 26). Діагоналі прямокутника є асимптотами гіперболи. Через вершину в першій чверті проводимо вітку гіперболи, яка асимптотично наближається до прямої
. Інші вітки будуємо симетрично відносно і .
Ексцентриситет гіперболи 
, бо 
. Якщо величину зафіксувати, а 
збільшувати, то при цьому збільшується 
, тому гіперболи будуть відхилятись від , гіпербола буде розпрямлятись. При зменшені буде зменшуватись , вітки гіперболи будуть наближатись до . У випадку, коли 
, асимптотами будуть бісектриси координатних кутів,
– рівнобічнагіпербола.