Парабола
Означення. Параболою називається множина точок площини, які рівновіддалені від заданої точки, що називається фокусом і заданої прямої, що називається директрисою.
Для отримання канонічного рівняння параболи розмістимо директрису перпендикулярно осі , а фокус
на осі
так, щоб початок координат
містився на однаковій відстані від них (див. рис. 28). Позначимо через
відстань від фокуса до директриси, тоді фокус має координати
,
. Для довільної точки
параболи відстань
, а відстань до директриси
. За означенням
. З рис. 28 бачимо, що
, а
, тому
Рис. 28.
– канонічне рівняння параболи.
Парабола проходить через точку , яка називається її вершиною. Якщо точка
належить параболі, то і
теж належить параболі, тому що із
Отже, парабола симетрична відносно осі , її графік достатньо побудувати в першій чверті, де із (42) випливає, що
.
При ця функція визначена для
. При зростанні
змінна
теж зростає. Графік зображено на рис. 29.
Рис. 29,а.
Рівняння директриси параболи .
Парабола має “оптичну” властивість : якщо у фокусі параболи помістити джерело світла, то відбиті від параболи промені будуть паралельними осі . Цю властивість враховують при виготовленні прожекторів, дзеркальних телескопів, теле- і радіоантен.
При додатному р рівняння
описує параболу симетричну відносно ОХ з вершиною в точці , вітки якої напрямлені вліво (див. рис. 29,б)
Аналогічно викладеному, рівняння
і
описують параболи з вершиною в точці
симетричні відносно ОУ, вітки яких напрямлені відповідно вверх і вниз (див. рис. 29, в і г). Якщо, наприклад, рівняння
розв’язати відносно у
і позначити , то отримаємо відоме із шкільного курсу рівняння параболи
. Тепер її фокусна відстань
.
Задача 1.Знайти координати фокуса і скласти рівняння директриси параболи .
Розв’язання.Порівнюючи канонічне рівняння і дане
, отримуємо
, тоді
. Оскільки рівняння директриси
, то в даному випадку
.
Задача 2. Скласти канонічне рівняння параболи а) з фокусом в точці ; б) з фокусом в точці
.
Розв’язання.а) Оскільки фокус на додатній півосі ОХ, то парабола симетрична відносно ОХ з вершиною в точці
і
, тому
і згідно формули (42)
.
б) Фокус лежить на від’ємній півосі ОУ з вершиною в точці
, вітки напрямлені вниз, канонічне рівняння слід шукати у вигляді
. Фокусна відстань параболи
, і рівняння запишеться
.
Задача 3.Показати шляхом виділення повного квадрата, що рівняння
є рівнянням параболи. Звести його до канонічного вигляду. Знайти вершину, фокус, вісь і директрису цієї параболи.
Розв’язання.Виділимо відносно змінної х повний квадрат
.
Позначимо ,
. Тоді внаслідок паралельного перенесення координатних осей в новий початок, тобто в точку
, отримаємо канонічне рівняння параболи
.
Вітки цієї параболи напрямлені вниз симетрично відносно осі ,
- фокусна відстань. В новій системі координат фокус знаходиться в точці
, рівняння директриси в новій системі
.
Повернемося до старих координат за допомогою заміни ,
. Рівняння осі в новій системі
, а в старій
- рівняння осі параболи.
Рівняння директриси в новій системі координат , а в старій
.
В новій системі для фокуса
а в старій системі
;
, тобто
.