Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный

Математика для экономистов

Курс лекций

для студентов дневной и заочной формы обучения

 

Авторы:

Шепеленко О.В., Щетинина Е.К., Скрыпник С.В.,

Фомина Т.А., Саркисьянц Е.В.

 

 

Затверджено:

Протокол засідання кафедри

вищої і прикладної математики

№ 25 від 15.04.2010 р.

 

Донецьк 2010


С о д е р ж а н и е

  стр.
1. Элементы теории пределов……………………………………………………...
1.1. Предел последовательности……………………………………………….....
1.2. Предел функции…………………………………………………………….…
1.3. Раскрытие неопределенностей ……………………………………………...
1.4. Первый замечательный предел………………………………………………
1.5. Второй замечательный предел ………………………………………………
2. Производная функции……………………………………………………………
2.1. Понятие производной функции………………………………………….....
2.2. Производная сложной функции………………………………………….....
2.3. Дифференцирование неявной функции……………………………….…
3. Применение производной к исследованию функции………………….…
3.1. Экстремум функции…………………………………………………………..
3.2. Точки перегиба…………………………………………………………………
3.3. Асимптоты ………………………………………………………………………
3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика………
4. Неопределенный интеграл………………………………………………………
4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл…………………
4.2. Непосредственное интегрирование ………………………………………..
4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)…..
4.4. Интегрирование по частям …………………………………………………..
4.5. Интегрирование рациональных дробей…………………………………..
4.6. Интегрирование тригонометрических функций ……………………….
5. Определенный интеграл ………………………………………………………...
5.1. Понятие определенного интеграла…………………………………………
5.2. Формула Ньютона-Лейбница………………………………………………..
5.3. Методы интегрирования……………………………………………………...
6. Несобственный интеграл ………………………………………………………...
7. Дифференциальные уравнения………………………………………………..
7.1. Уравнения с разделяющимися переменными…………………………….
7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ………
7.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………….
7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка……………………….
7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………..  
8. Числовые ряды …………………………………………………………………….
8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда……………………..
8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов……..
8.3. Знакочередующиеся ряды……………………………………………………
9. Степенные ряды……………………………………………………………………
Литература …………………………………………………………………………….

 

1. Элементы теории пределов

 

1.1. Предел последовательности

 

Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента.

Член называется общим членом последовательности. Последовательность с общим членом содержит бесконечное множество чисел и обозначается . Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого ее члена по его известному номеру.

Пример.Написать первые 10 членов последовательности, если ее общий член .

Решение. Вычисляя значение дроби при значениях , равных 1, 2, 3,…, 10, получим: , , , , , , , , , .

В общем виде:

 

Определение. Число называется пределомпоследовательности , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа найдется такое натуральное число ,

что все значения переменной , начиная с , отличаются от по абсолютной величине меньше чем на :

при всех , или

.

Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Если последовательность имеет предел, равный , то говорят, что эта последовательность сходится к . Например, поскольку , то говорят, что последовательность сходится к 1.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Например, последовательность ,… не имеет предела, значит она расходится.

 

Геометрическая интерпретация предела. Постоянное число называется пределомпеременной , если для любой окрестности с центром в точке , даже сколь угодно малого радиуса , найдется такое значение , что точки, изображающие это значение и все последующие значения переменной , попадут в эту окрестность (рис.1). Обратим внимание на то, что вне любой окрестности точки лежит лишь конечное число значений переменной .

 
 


0

 

Рис. 1 Геометрическая интерпретация предела последовательности

Предел функции

 

Определение. Число является пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Тот факт, что функция при имеет предел, равный , символически обозначают в виде

.

Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).

Для каждого наперед заданного значения , найдется окрестность точки радиуса , такая, что часть графика данной функции, соответствующая окрестности , содержится внутри полосы, ограниченной прямыми , .

 

 

                                             
                                               
                                                     
                                             
                                             
                                       
                         
                                             
                                             
                                                   
                                                   
                                                 
                       

Рис. 2 Геометрическая интерпретация предела функции