Признаки возрастания и убывания функции
Далее теорема выражает важный для практических целей признак строгого возрастания и строгого убывания функции и указывает правило для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает (интервалов монотонности функции).
Теорема. | (достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале)
Если во всех точках некоторого интервала первая производная ![]() ![]() ![]() |
Правило. Для определения интервалов строгого возрастания и строгого убывания функции следует решить неравенства:
и
.
Пример. Найти интервалы монотонности функции
.
Решение. Областью определения данной функции является вся ось . Находим производную
. Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство
или
; чтобы найти интервалы убывания функции, решим неравенство
. Корни квадратного трёхчлена
равны 1 и 3, поэтому распределение знаков квадратного трехчлена имеет вид
+ – +
![]() |
1 3
Следовательно, на интервалах и
функция возрастает, а на интервале
функция убывает.
Экстремум функции
Если для всех значений из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
, то
называют точкой локального максимума функции
, а
– локальным максимумом функции. Если для всех значений
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
, то
называют точкой локального минимума функции
, а
– локальным минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называют ее экстремумами.
Необходимый и достаточный признаки экстремума функции дают следующие две теоремы
ТЕОРЕМА 1 | (необходимый признак экстремума)
Если точка ![]() ![]() |
Эта теорема имеет простую геометрическую интерпретацию.
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
На рис. 4 касательная к графику функции в точке
– точка экстремума – параллельна оси
, т.е. угловой коэффициент (а это и есть производная) равен нулю.
На рис. 5 касательная в точке экстремума перпендикулярна оси , на рис. 6 касательная в точке с абсциссой
не существует. В обоих случаях производная в точке не существует.
Точки, в которых первая производная равна нулю, а также, в которых она не существует, но функция сохраняет непрерывность, называются критическими.
Следует уяснить, что указанный признак экстремума является только необходимым, но отнюдь не достаточным: производная функции может быть равна нулю или не существовать не только в тех точках, в которых функция достигает экстремума. Например, производная функции равна нулю в любой точке, но экстремума у этой функции нет (рис. 7). Поэтому, определив критические точки, в которых функция может достигать экстремума, надо каждую из точек в отдельности исследовать на основании достаточных условий существования экстремума.
0
Рис. 7
ТЕОРЕМА 2 | (достаточный признак экстремума) Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то критическая точка является точкой экстремума. Это точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если производная меняет знак с минуса на плюс. |
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение.
1. Область определения .
2. Находим критические точки, для чего найдем производную и приравняем ее к нулю
. Отсюда
,
,
. Точек, где
не существует, нет.
3. Исследуем критические точки по достаточному признаку экстремума. Это удобно делать в таблице, куда заносятся критические точки и точки разрыва функции (в данном примере точек разрыва нет).
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | - | - | |||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | нет экстремума | ![]() | нет экстремума |
Для нахождения знака производной достаточно подставить в нее любое значение из рассматриваемого интервала. Так, исследуя интервал , можно взять, например, точку
и подставить это значение в производную:
. Исследовав, указанным образом знаки производной в интервалах
, замечаем, что производная меняет знак при переходе через точку 0 (с “+” на “-”). Значит,
– точка максимума. Значение функции в этой точке
.
Точки перегиба
График функции называется выпуклым на интервале
, если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
График функции называется вогнутым на интервале
, если он расположен выше касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 б).
![]() | |||
![]() | |||
Рис. 8 а Рис. 8 б
ТЕОРЕМА | (достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции)
Если ![]() ![]() ![]() ![]() |
Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой, называется точкой перегиба.
Точки кривой, в которых вторая производная или не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода.
В критической точке второго рода перегиб будет только в том случае, когда при переходе через эту точку
меняет знак.
Правило. Для определения точек перегиба кривой надо определить все критические точки второго рода и рассмотреть знаки в каждых двух соседних интервалах, на которые эти точки делят область определения функции. В случае, если знаки
в двух соседних интервалах различны, критическая точка второго рода является точкой перегиба. Если же в двух соседних интервалах
имеет один и тот же знак, то в рассматриваемой критической точке второго рода перегиба нет. В точке перегиба кривая пересекает касательную.
Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
Решение. Область определения функции – интервал .
Найдем первую и вторую производные функции
,
.
Так как при любом значении
, то кривая вогнута на всем интервале
. Точек перегиба нет.
Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .
Решение. Область определения функции – интервал .
Найдем первую и вторую производные функции
,
.
Решаем уравнение и находим, что
. Это единственная критическая точка. Она делит область определения функции на два интервала
и
.
![]() |
– +
На интервале кривая выпукла
, а на интервале
– вогнута
. Таким образом, при переходе через точку
вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты
.
Асимптоты
Определение. | Если расстояние от кривой ![]() |
Различают асимптоты: вертикальные и наклонные.
1. Кривая имеет вертикальную асимптоту
, если при
,
или при
. Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргумента, вблизи которых
неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента являются
, то уравнения вертикальных асимптот будут
;
; …
Вертикальные асимптоты – это нули знаменателя функции. Например, . Здесь две вертикальные асимптоты:
,
2. Для определения наклонной асимптоты кривой
надо найти числа
и
по формулам
,
(иногда следует отдельно рассматривать случаи и
).