Уравнение с разделяющимися переменными
Этот тип уравнения является самым простым типом уравнений первого порядка.
Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Представим производную как отношение дифференциалов , тогда
.
Умножаем на
.
Разделение переменных производится делением обеих частей последнего соотношения на произведение , в котором
,
. После деления уравнение примет вид
или
,
а его общий интеграл запишется так:
или
.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Подставим вместо
.
.
Разделим на
.
Интегрируя, получим
.
Здесь удобно представить константу в логарифмической форме. Из последнего равенства получим
;
.
Однородные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Функция называется однородной степени
, если для нее выполняется равенство
.
Однородными функция будут:
– вторая степень однородности
– вторая степень однородности
– первая степень однородности
– нулевая степень однородности
Неоднородные функции: ,
,
.
Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида
,
где и
– однородные функции одинаковой степени однородности.
Дифференциальное уравнение может быть представлено в виде
.
Для решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка применяют подстановку
,
где – новая искомая функция, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
После того как новое уравнение будет проинтегрировано, следует заменить на
.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Убедимся, что это уравнение однородное. Заменить на
, а
на
, видим, что уравнение не изменилось это и доказывает, что оно однородное.
Сделаем подстановку:
, откуда
,
и уравнение перепишется так:
,
,
,
.
Теперь мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое после разделения переменных запишется следующим образом:
.
Интегрируя, получаем:
, или
.
Заменяя на
, получим
;
;
.
7.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Дифференциальные уравнения вида
называются линейными потому, что искомая функция и ее производная
входят в уравнение в первой степени.
Функции и
предполагаются непрерывными в промежутке
, в котором ищется решение уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка при помощи подстановки сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде: .
Разделяя на , получим:
.
Полагаем , тогда
и данное уравнение примет вид:
,
или
.
Решаем уравнение
,
находим его простейшее решение
,
откуда
;
.
Подставляя в уравнение
, получим уравнение
, откуда
,
,
,
.
Значит, искомое общее решение можно записать в виде:
.