Раскрытие неопределенностей
При нахождении предела функции нужно в выражении функции заменить аргумент его предельным значением. Если при этом не возникает трудностей (неопределенностей различных видов), то предел вычисляется легко. Например
.
Однако, не всегда удается простой подстановкой вычислить предел. Рассмотрим некоторые приемы отыскания пределов в случае неопределенностей.
Неопределенность вида 
,порожденную отношением многочленов, раскрывают делением числителя и знаменателя на аргумент в наибольшей степени дроби.
Пример. Найти
1) 
. 2) 
. 3) 
.
Решение.
При 
и числитель, и знаменатель дроби бесконечно большие. Значит имеем дело с отношением двух бесконечно больших функций. Для решения задачи следует разделить числитель и знаменатель на 
в высшей степени (в данном случае на 
), а после перейти к непосредственному вычислению предела. Итак
1) 
(величины 
при являются бесконечно малыми величинами, поэтому 
).
В данном примере степень числителя равна степени знаменателя.
2) 
В данном примере степень числителя меньше степени знаменателя.
3) 
В данном примере степень числителя больше степени знаменателя.
Правило раскрытия неопределенности вида
1) если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен 
;
2) если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе;
3) если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0.
Неопределенность вида 
,порожденную разностью двух бесконечно больших величин одного знака, раскрывают домножением на сопряженное выражение, приведением к общему знаменателю или вынесением общего множителя. При домножении на сопряженное выражение следует одновременно разделить на него.
Пример. Найти
1) 
. 2) 
Решение.
1) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное:
.
2) Приводим к общему знаменателю и преобразуем
.
Неопределенность вида 
при 
, порожденную отношением двух многочленов, раскрывают выделением в числителе и знаменателе множителя 
и сокращением на него.
Для раскрытия неопределенности , содержащей иррациональные выражения, следует числитель и знаменатель домножить на сопряженное выражение для иррационального, после чего сделать необходимые упрощения и вычислить предел.
Пример. Найти
1) 
. 2) 
.
Решение.
1) Разложим числитель и знаменатель на множители:
.
2) Перенесем иррациональность в знаменатель, для чего умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, ( 
) и получим:
