Потік вектора через поверхню

⇐ Назад

Нехай векторне поле утворене вектором (3.1). Для наочності будемо вважати вектором швидкості деякого потоку рідини, що рухається стаціонарно. Уявимо, що деяка поверхня знаходиться у цьому потоці і пропускає рідину. Підрахуємо, яка кількість рідини протікає через поверхню .

Виберемо деяку сторону поверхні . Нехай - одиничний вектор нормалі до розглядуваної сторони поверхні . Розіб'ємо поверхню на елементарні площадки . Виберемо в кожній площадці точку (див. рис. 5) і обчислимо значення вектора швидкості в кожній точці: .

Будемо приблизно вважати кожну площу плоскою, а вектор сталим по модулю й однаково направлений у кожній точці площадки. Тоді за одиницю часу через протікає кількість рідини, приблизно рівне , де - площа -й площадки, - висота -го циліндра з твірною . Але є проекцією вектора на нормаль : , де - одиничний вектор нормалі до поверхні в точці . Отже, загальна кількість рідини, що протікає через усю поверхню за одиницю часу, знайдемо, обчисливши суму

Точне значення шуканої кількості рідини отримаємо, взявши границю знайденої суми при необмеженому збільшенні числа елементарних площадок і їхні розміри прямують до нуля (діаметри площадок):

Незалежно від фізичного змісту поля отриманий інтеграл називають потоком векторного поля.

Потоком вектора через поверхню називається інтеграл по поверхні від скалярного добутку вектора поля на одиничний вектор нормалі до поверхні, тобто

(3.3)

Розглянемо різні форми запису потоку вектора. Оскільки

то

, (3.4)

де - проекція вектора на напрямок нормалі - диференціал (елемент) площі поверхні.

Іноді формулу (3.3) записують у вигляді

де вектор направлений по нормалі до поверхні, причому .

Так, якщо , , де , , - проекції вектора на відповідні координатні осі, то потік (3.3) вектора , можна записати у вигляді

(3.5)

Відзначимо, що потік вектора є скалярна величина. Величина дорівнює об’єму рідини, що протікає через поверхню за одиницю часу. У цьому полягає фізичний зміст потоку (незалежно від фізичного змісту поля).

Особливий інтерес представляє випадок, коли поверхня замкнена й обмежує деякий об’єм . Тоді потік вектора записується у вигляді

( або іноді …)...

У цьому випадку за напрямок вектора звичайно беруть напрямок зовнішньої нормалі і кажуть про потік зсередини поверхні (див.рис.61).

Якщо векторне поле є поле швидкостей рідини, що тече, то величина потоку через замкнуту поверхню дає різницю між кількістю рідини, що витікає з області (об’єму ), і що втікає в неї за одиницю часу, (у точках поверхні , де векторні лінії виходять із об’єму , зовнішня нормаль утворює з вектором гострий кут і ; в точках, де векторні лінії входять в об’єм, ).

При цьому якщо , то з області витікає більше рідини, ніж у неї втікає. Це означає, що всередині області є додаткові джерела.

Якщо , то всередині області є стоки, що поглинають надлишок рідини.

Можна сказати, що джерела – точки, звідкіль векторні лінії починаються, а стоки – точки, де векторні лінії закінчуються. Так, в електростатичному полі джерелом є позитивний заряд, сток – негативний заряд магніту (див. рис. 7).

Якщо , то з області витікає стільки ж рідини, скільки в неї втікає за одиницю часу; всередині області або немає ні джерел, ні стоків, або вони такі, що їхня дія взаємно компенсується.

Рис.9

Приклад 3.3. Знайти потік радіуса-вектора через зовнішню сторону поверхні прямого конуса, вершина якого збігається з точкою , якщо відомі радіус основи і висота конуса (див. рис. 9).