Перше рівняння Максвела в інтегральній та диференціальній формах
Рівняння Максвела є одними з фундаментальних основ електродинаміки. Розглянемо перше рівняння Максвела.
Між векторами електричного поля (Е, Р, D) і векторами магнітного поля (В, М, Н) існує тісний зв’язок. Тому саме використання цих векторів є основою при виведенні рівнянь Максвела.
Для лінійних ізотропних середовищ електромагнітне поле може бути визначено двома векторами Е та Н. Всі електромагнітні процеси відносяться до макроскопічної електродинаміки і підкоряються законам, які були сформульовані в 1873 році законам Максвела у вигляді диференціальних рівнянь.
Перше рівняння Максвела є узагальненям закону повного струму. Закон Ампера в до Максвела формулювався так: Циркуляція вектора напруженості Н магнітного поля по замкненому контуру Г дорівнює струму І, який пронизує даний контур:
І= 
Максвел дав формулювання закону повного струму. Він ввів поняття струму зміщення і використавши роботи Фарадея припустив, що у випадку змінних полів, струм зміщення з точки зору утворення магнітного поля є рівноцінний струму провідності.
В результаті було введено поняття про повний вид струму – струм зміщення.
Jсм= 
(А/м2)
D – ел. Зміщення.
Jсм= 
ε0 + 
струм зміщення (1)
Перша складова виразу (1) співпадає із струмом зміщення у вакуумі, тобто визначає чистий струм зміщення який не пов’язаний з рухом зарядів Друга складова визначає струм зміщення, що зумовлений рухом зарядів, які пов’язані з станом речовини в результаті дії змінного поля. Максвел запропонував закон повного струму, з врахуванням струмів зміщення:
= Іпр. + Ізм.
Для того, що б рівняння було справедливим треба додати струм зміщення:
перше рівняння Максвела в інтегральній формі
Ампер експерементально встановив що величина сили взаємодії двох елементарних струмів пропорційна силам струмів I1,I2, довжинам проміжків дротів dl1,dl2 по яким течуть струми і які обернено пропорційні квадрату відстані між ними:
.
Сила, що діє на елемент струму 2, перпендикулярна до цього елементу і лежить в лощині, що містить елементи струму 1 та радіус вектор
– закон Ампера (тут r0 – одиничний радіус-вектор).
Закон Ампера можна застосувати тільки до замкнутих провідників ( в іншому разі порушуеться третій закон Ньютона)
Закон повного струму
Розглянемо в просторі уявний контур 
, що обмежує поверхню 
. Задамо на даному контурі напрям обходу так, що рух вздовж контура з кінця вектора елементарної площадки 
спостерігалось в напрямку протии часової стрілки .
Припустимо далі, що поверхня пронизується деякою системою струмів, яка може носити як дискретний характер, так і бути неперервно розподіленим. Будемо вважати, що вони розподілені в просторі неперервно з деякою щільністю 
. Тоді повний струм, що пронизує контур має вигляд
(1)
Закон повного струму стверджує, що циркуляція по контуру вектора напруженості магнітного поля, що визваний протікання струму 
, рівна повному струму, тобто
(2)
Співвідношення (2) формулює закон повного струму в інтегральній формі. Для того щоб знайти диференціальну форму цього закону, тобто звязати щільність повного струму в даній точці з напруженістю магнітного поля, треба скористатися теоремою Стокса, яка стверджує, що для будь якого векторного поля 
справедлива рівність
Скориставшись останньою формулою і перетворивши з її допомогою вираз 2 отримаємо
Звідки через довільність вибраного контура отримаємо
Формула 3 є законом повного струму в диференціальній форм
Повний електричний струм
Повний електри́чний струм — впорядкований рух заряджених частинок у просторі. У металах це електрони, напівпровідниках - електрони та дірки, у електролітах - позитивно та негативно заряджені іони, у іонізованих газах — іони та електрони. За напрямок струму вибирають рух позитивно заряджених частинок. Таким чином, напрямок струму в металах протилежний напрямку руху електронів.
Кількісно електричний струм характеризується диференційною векторною величиною густиною струму, або у випадку струму в проводах інтегральною величиною силою струму.
Густина струму називають векторну величину, що визначається, як величина заряду, яка протікає через одиничну площу за одиницю часу. Вона позначається, зазвичай, латинською літерою 
. Напрямок густини струму визначається напрямком потоку заряду.
Силою струму через провідник називається величина
,
що відповідає кількості заряду 
, переміщеному через перетин провідника за проміжок часу 
. У системі СІ сила струму вимірюється в амперах. Відповідно, густина струму вимірюється в A/м2.
Якщо за кожен проміжок часу заряд однаковий і напрямок струму незмінний, то такий струм називають постійним.
У випадку, коли ці величини змінні, силу струму описують так:
.
Такий струм називають змінним.
Повний електричний струм створює магнітне поле, напруженість якого визначається законом Біо-Савара. Магнітне поле, створене струмом, використовується для вимірювання сили струму.
Проходження повного електричного струму через речовину приводить до тепловиділення. У випадку провідника зі скінченним опором це тепловиділення описуєтсья законом Джоуля-Ленца. При проходженні струму через контакт двох провідників тепло може як виділятися, так і поглинатися (ефект Пельтьє). Аналогічні до ефекту Пельтьє явища винакають при проходженні електричного струму через провідник із нерівномірним розподілом температури.
Повний електричний струм в газах викликає світіння, що є частковим випадком електролюмінесценції. Аналогічні явища виникають у світлодіодах. При проходженні через електроліт електричний струм супроводжується хімічними реакціями на електродах, які можуть покриватися шаром металу, що виділяється з електроліту.