Механічні коливання і хвилі. Елементи акустики
Гармонічне коливання описується законом: або
, де
– значення величини, що здійснює коливання, у даний момент часу
,
– амплітуда коливань,
– фаза коливань,
– циклічна частота (
,
– період),
– початкова фаза коливань.
У подальших формулах використовується закон косинуса.
Швидкість коливального руху:
.
Прискорення коливального руху:
.
Кінетична енергія коливальної системи:
.
Потенціальна енергія коливальної системи:
.
Повна енергія коливальної системи:
.
Додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку з однаковими частотами:
а) амплітуда результуючого коливання: ;
б) початкова фаза результуючого коливання: ;
Рівняння траєкторії точки, що одночасно бере участь у двох коливаннях однакової частоти, напрями яких є взаємно перпендикулярними:
.
Вільні коливання простих коливальних систем описуються диференціальним рівнянням: .
Періоди гармонічних коливань простих коливальних систем:
а) пружинний маятник з коефіцієнтом жорсткості і масою
:
;
б) математичний маятник завдовжки :
;
в) фізичний маятник з моментом інерції відносно вісі коливань і відстанню
від центра мас тіла до точки підвісу:
;
г) крутильний маятник з моментом інерції відносно вісі коливань і модулем кручення
:
.
Диференціальне рівняння згасаючих коливань: , його розв’язок (для
)
, де
– коефіцієнт згасання,
– циклічна частота згасаючих коливань (
).
Коефіцієнт згасання: , де r – коефіцієнт опору.
Логарифмічний декремент згасання: .
Добротність коливальної системи: .
Диференціальне рівняння вимушених коливань: , де
– амплітуда зовнішньої сили. Рівняння руху:
, де
– зсув фаз між силою і зміщенням.
Амплітуда вимушених коливань: .
Резонансна частота: .
Резонансна амплітуда: .
Рівняння плоскої стаціонарної хвилі: , де
– хвильове число,
; тут
– довжина хвилі,
– фазова швидкість поширення хвилі,
.
Фазова швидкість поздовжніх пружних хвиль у твердих тілах:
,
де – модуль Юнга,
– густина середовища.
Фазова швидкість поширених хвиль у твердих тілах:
,
де – модуль зсуву.
Швидкість зсуву в ідеальних газах (формула Лапласа):
,
де – показник адіабати (
);
– універсальна газова стала,
–температура,
– молярна маса газу,
і
– тиск і густина газу.
Швидкість поперечних хвиль у струмі:
,
де – сила натягу струни;
– густина матеріалу струни,
– площа її поперечного перерізу.
Рівень гучності у децибелах (дБ):
,
де – інтенсивність звуку;
– поріг гучності (
).
Згасання хвилі у децибелах
.
Акустичний ефект Доплера
,
де – частота, що реєструє приймач,
– частота, що випромінює джерело,
– швидкість звуку,
і
– відповідно швидкості приймача і джерела звуку відносно середовища, в якому поширюються звукові хвилі. Верхні знаки беруть у разі зближення джерела приймача, нижні – віддалення.