ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
I. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ -ГО ПОРЯДКУ
В загальному випадку диференціальне рівняння 
-го порядку, яке можна розв’язати відносно старшої похідної, має вид
Загальним розв’язком (інтегралом) диференціального рівняння називається функція
яка залежить від довільних сталих 
і задовольняє двом умовам:
1) при довільних значеннях сталих перетворює в рівняння тотожність;
2) при довільних початкових умовах
існують такі значення сталих , при яких функція 
задовольняє цим умовам.
Для задачі Коші 
і 
є теорема про існування та єдність розв’язку.
Якщо функція 
неперервна в області D разом зі своїми частинними похідними 
, 
,..., 
, тоді для будь якої точки (х0,у0), яка належить області D, задача Коші має і причому єдиний розв’язок, визначений в деякому околі точки х0.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ЯКІ ДОПУСКАЮТЬ ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
1) рівняння виду 
Розв’язок даного рівняння знаходиться -кратним послідовним інтегруванням. Так як 
, то дане рівняння може бути переписане у вигляді: 
, або 
Інтегруючи послідовно рівняння, одержимо
 .
| (1.1) |
Аналогічно, інтегруючи вираз (1.1), знаходимо
і так далі.
Загальний розв’язок матиме довільних сталих ; для одержання частинного розв’язку необхідно використовувати початкові умови (2).
Приклади.
1. Знайти загальний розв’язок 
.
Найдемо загальний розв’язок рівняння послідовним інтегруванням даного рівняння:
Тоді 
- загальний розв’язок.
2. Розв’язати задачу Коші
Найдемо загальний розв’язок рівняння послідовним інтегруванням даного рівняння:
- загальний розв’язок.
Знайдемо значення сталих 
, які задовольняють заданим початковим умовам:
Частинний розв’язок матиме вид
.
2) рівняння виду 
Порядок такого рівняння можна понизити за допомогою заміни 
, тоді 
і так далі.
Визначаємо загальний розв’язок для функції 
з рівняння 
у вигляді 
.
Далі, після інтегрування співвідношення , маємо загальний розв’язок початкового рівняння:
.
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння
Рівняння не має явно початкової функції 
, отже, використовуємо заміну
, 
.
Підставляючи вираз для 
і 
в дане рівняння, одержимо рівняння першого порядку відносно функції :
Одержане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними:
Так як 
, то 
- розв’язок рівняння.
3) рівняння виду 
Тут немає 
. Порядок такого рівняння можна понизити за допомогою заміни 
, тоді 
.
В результаті порядок початкового рівняння понижується на одиницю:
.
Якщо знайдено розв’язок для функції
, то одержимо
або
- рівняння відокремлюваними змінними відносно змінних і .
Приклад. Знайти загальний інтеграл рівняння
.
Дане рівняння не має незалежної змінної .Робимо заміну
, 
.
Підставляючи вираз для і в дане рівняння маємо:
Одержане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними:
Так як 
,
Загальний інтеграл має вид:
,
,
.
ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
Лінійне диференціальне рівняння -го порядку в загальному випадку має вид
| (2.1) |
де 
- задані неперервні функції.
Якщо 
, то рівняння (2.1) називають лінійним однорідним диференційним рівнянням -го порядку.
Загальний розв’язок лінійного однорідного диференційного рівняння -го порядку визначається як лінійна комбінація його лінійно незалежних частинних розв’язків, тобто
,
де 
- лінійно незалежні частинні розв’язки лінійного однорідного рівняння ; 
- довільні сталі.
Систему функцій 
називають лінійно незалежною на (а,b ), якщо тотожність
,
виконується тільки при Сі=0, у противному разі система лінійно залежна.
Для того щоб розв’язки лінійного однорідного диференційного рівняння були лінійно незалежними на (а,b ),необхідно і достатньо, щоб визначник 
, для будь якого 
. Цей визначник позначають W(x) і називають детермінант Вронського.
Для двох функцій можна дати більш простий критерій лінійної незалежності.
Функції 
лінійно незалежні, якщо їх відношення тотожно не дорівнює сталій величині 
, якщо 
, то функції лінійно залежні.
Загальний розв’язок рівняння (2.4) 
може бути представлений у вигляді суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння 
і деякого частинного розв’язку неоднорідного рівняння 
, тобто
.