Диференціальне рівняння першого порядку. Загальні поняття

Рух матеріальної точки під дією сили тяжіння.

Дослідимо рух матеріальної точки маси по вертикальній прямій під дією сили земного тяжіння. Нехай вісь - пряма по, якій рухається матеріальна точка, початок координат візьмемо на поверхні землі, а додатній напрям будемо відраховувати догори. Щоб знати рух, тобто положення точки у будь-який момент часу після початку руху (яке відповідає значенню ), потрібно знати значення єдиної координати цієї точки як функції t . Таким чином, незалежною змінною є , а шуканою функцією .

Ми знаємо з механіки закон Ньютона , де і - відповідно маса та прискорення матеріальної точки; - сила, яка діє на точку.

З механічного змісту другої похідної випливає, що прискорення дорівнює , з іншого боку ми знаємо, що прискорення сили земного тяжіння у кожній точці поверхні і поблизу Землі є сталою, яка дорівнює , а сила тяжіння дорівнює . Тому що сила тяжіння напрямлена униз у нашій системі координат їй належить дати знак „- “. Порівнюючи обидва знайдені вирази, одержуємо рівняння руху або .

Процеси першого порядку.

Багато хімічних реакцій та фізичних процесів характеризуються тим, що швидкість зміни однієї змінної величини відносно другої пропорційно значенню цієї змінної у першому степені. Такі процеси називаються процесами першого порядку. Вони визначаються рівнянням . У випадку хімічної реакції маємо - кількість речовини у граммолекулах, - стала величина (константа швидкості реакції), - час; наприклад, реакція гідролізу двобромянтарної кислоти - реакція першого порядку, радіоактивний розпад, швидкість зростання населення і т.п. – все це процеси першого порядку.

Основні означення.

Означення 1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв`язує шукану функцію, її похідні та аргумент, тобто воно має вигляд

або

Якщо шукана функція є функцією однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.

Означення 2. Найвищий порядок похідної. що входить у диференціальне рівняння, називається порядком диференціального рівняння (наприклад, –рівняння першого порядку, а - рівняння другого порядку).

Означення 3. Розв`язком або інтегралом диференціального рівняння називається будь-яка функція , яка після підстановки у рівняння. обертає його у тотожність.

Приклад. Функції або взагалі , де і - сталі, є розв`язками рівняння

(2.1)

Функції не є розв`язками рівняння (2.1).

Диференціальне рівняння першого порядку. Загальні поняття.

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд . Якщо це рівняння можна розв`язати відносно , то його можна подати у вигляді . В цьому випадку говорять, що рівняння розв`язане відносно похідної.

Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку полягає в тому, щоб знайти такий розв`язок цього рівняння , для якого . Ці умови називаються початковими умовами. Їх записують також у вигляді , або при . . Розв`язок задачі Коші дає наступна теорема.

Теорема Коші. Якщо в рівнянні функція і її частинна похідна неперервні в деякій області , яка містить точку , то існує єдиний розв`язок цього рівняння , який задовольняє початковим умовам .

Геометричний зміст теореми : існує єдиний розв`язок диференціального рівняння

, графік якого проходить через задану точку . З теореми Коші випливає, що диференціальне рівняння має незлічену множину розв`язків ( наприклад, розв`язки, графік яких проходить через точки , якщо ці точки належать до області ).

Означення 1. Загальним розв`язком диференціального рівняння називається функція , яка залежить від сталої і задовольняє умови:

1) для будь-якого вона є розв`язком диференціального рівняння;

2) для довільних початкових умов існує таке значення , що . .

Означення 2. Частинним розв`язком диференціального рівняння називається розв`язок, який отримують із загального при конкретному значенні за допомогою початкових умов.

Якщо розв`язок дістаємо у неявному вигляді , то це загальний, або частинний

інтеграл диференціального рівняння.

З геометричної точки зору загальний розв`язок диференціального рівняння - це сім`я інтегральних кривих, а частинний розв`язок – одна з ліній сім`ї, яка проходить через задану точку .

Розв`язати або проінтегрувати диференціальне рівняння – це означає:

1) знайти загальний розв`язок або загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані);

2) знайти частинний розв`язок диференціального рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам (якщо вони є).