Рівняння у повних диференціалах
Означення. Диференційне рівняння
(8.1)
називається рівнянням у повних диференціалах, якщо функції 
і 
неперервні у області 
, мають неперервні частинні похідні 
та 
і у кожній точці області
(8.2)
Інтегрування рівняння у повних диференціалах.
Доведемо, що ліва частина (8.1), якщо виконані умови (8.2), є повним диференціалом деякої функції 
і навпаки, якщо виконані умови (8.2), то ліва частина (8.1) є повним диференціалом деякої функції , тобто рівняння (8.1) має вигляд 
, і тому його загальний інтеграл є 
.
Справді, нехай ліва частина (8.1) є повний диференціал деякої функції , тобто
;
тоді
, 
(8.3)
маємо 
, 
.
Тому що за умовами 
та неперервні, то мішані похідні неперервні і є рівними, тобто
і рівняння (8.1) є рівнянням у повних диференціалах.
Доведемо, що з умови (8.2) випливає, що ліва частина (8.1) є повним диференціалом деякої функції . Нехай 
- деяка точка області . Зінтегрувавши співвідношення
за 
і вважаючи, що 
стале, добудемо
, (8.4)
де 
- довільна функція, яка залежить лише від . Покажемо, що функцію можна знайти так, щоб виконувалось друге з співвідношень (8.3).
Диференціюємо (8.4) за :
.
Змінити порядок інтегрування і диференціювання можна за теоремою Лейбніца. Врахуємо, що та , добудемо
. (8.5)
Помітимо, що
. .
Підставимо значення інтеграла у (8.5), добуваємо диференціальне рівняння для знаходження функції :
або 
,
звідки
, (8.6)
де 
- довільна стала.
Підставимо (8.6) у (8.4) і знайдемо функцію :
.
Якщо функцію 
прирівняти довільному сталому, то добудемо загальний інтеграл рівняння (8.1):
.
Приклад. Розв`язати рівняння 
.
Перевіримо, що це рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Позначимо
, 
.
Маємо
, 
.
Якщо 
, то функції 
, , та неперервні і . Тому ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції :
Позначимо 
. Тоді 
і загальний інтеграл має вигляд
Питання для самоперевірки.
1. Яке рівняння називається диференціальним ?
2. Що називають порядком диференціального рівняння ?
3. Який вигляд має диференціальне рівняння першого порядку, яке розв`язане відносно похідної ?
4. Що називають розв`язком диференціального рівняння ?
5. Що називають інтегральною кривою диференціального рівняння 
?
6. Сформулювати задачу Коші для диференціального рівняння .
7. Що називається загальним розв`язком диференціального рівняння ?
8. Як із загального розв`язку диференціального рівняння добути частинний розв`язок ?
9. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними ?
10. Дати означення однорідної функції і однорідного диференціального рівняння першого порядку.
11. Як розв`язати однорідне рівняння першого порядку ?
12. Дати означення лінійного рівняння першого порядку. Як розв`язати таке рівняння ?
13. Який вигляд має рівняння Бернуллі ?
14. Як розв`язати рівняння Бернуллі ?
15. Дати означення рівняння у повних диференціалах.
Рівняння вищих порядків.
У загальному випадку рівняння 
-го порядку має вигляд 
. Якщо це рівняння можна розв`язати відносно 
, тоді
(9.1)
Задача, яка полягає у знаходженні розв`язку (9.1), який задовольняє початкові умови
(9.2)
називається задачею Коші. Розв`язок задачі Коші дає теорема.
Теорема Коші. Якщо в рівнянні (9.1) функція 
та її частинні похідні по 
неперервні в області , яка містить значення 
, то існує єдиний розв`язок, який задовольняє початкові умови (9.2).
Загальним розв`язком (інтегралом) називається функція 
( 
яка задовольняє умови:
1) при довільних сталих 
вона задовольняє диференціальному рівнянню;
2) при довільних умовах (9.2) існують такі сталі 
, при яких ці умови виконуються.
Частинний розв`язок (інтеграл ) дістаємо із загального при 
.