Тема 4. Аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки

1. У залежності від наявності сировини підприємство може виробити та відправити замовникам щодобово кількість певної продукції від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що одержану кількість продукції можна розподілити без залишку: а) трьом замовникам; б) чотирьом замовникам; в) дванадцяти замовникам; г) трьом або чотирьом замовникам.

2. В урні містяться 40 кульок: 10 червоних, 15 синіх і 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорової кульки.

3. Ймовірність влучити в ціль при стрільбі першої і другої гармати відповідно дорівнює: р1 = 0,5, р2 = 0,3. Знайти ймовірність влучення при одному залпі (із обох гармат) хоча б однією із гармат.

4. Задано множину цілих чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Знайти ймовірність того, що воно виявиться кратним 4 або 8.

5. Три студенти можуть здати екзамен з математики з певною ймовірністю. Знайти ймовірність того, що із трьох студентів екзамен складуть не менше як 1 і не більше ніж 2.

6. У ящику міститься 18 однакових деталей, серед яких 7 бракованих, а решта – стандартні. Навмання з ящика беруть п’ять деталей. Знайти ймовірність того, що всі п’ять деталей виявляться стандартними або бракованими.

7. Відомо, що А1, А4, А3, А4 є між собою несумісними і утворюють повну групу. Знайти значення Р(А1), Р(А2), Р(А3), Р(А4), якщо: Р(А1) = 0,5Р(А2) + 0,8Р(А3); Р(А2) = 0,8Р(А3) + 0,2Р(А4); Р(А3) = 0,8Р(А4).

8. Монета підкидається 20 разів. Знайти ймовірність того, що при цьому герб з’явиться 7 або 17 разів.

9. Ймовірність появи кожної із двох незалежних подій А1 і А2 відповідно дорівнює р1 і р2. Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.

10. Для сигналізації про аварію встановлено два незалежних сигналізатори. Ймовірність того, що при аварії сигналізатор спрацює, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора і 0,9 для другого. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.

11. Студент шукає потрібну йому формулу у трьох довідниках. Ймовірність того, що формула є в першому, другому і третьому довіднику, відповідно дорівнює 0,6; 0,7 і 0,8. Знайти ймовірність того, що формула є: а) лише в одному довіднику; б) тільки в двох довідниках; в) у всіх трьох довідниках.

12. Ймовірність того, що потрібна комплектувальнику деталь знаходиться в першому, другому, третьому ящиках, відповідно дорівнює 0,7; 0,8 і 0,9. Знайти ймовірність того, що деталь міститься: а) не більше ніж в двох ящиках; б) не менше ніж в двох ящиках.

13. На стелажі бібліотеки випадковим чином поставили 15 підручників, причому 5 з них в твердій обкладинці. Бібліотекар бере навмання три підручники. Знайти ймовірність того, що хоча б один підручник виявиться в твердій обкладинці.

14. Ймовірність того, що при одному вимірі деякої фізичної величини буде допущено помилку, яка перевищує задану точність, дорівнює 0,4. Провели три незалежні виміри. Знайти ймовірність того, що тільки в одному з них допущена помилка перевищить задану точність.

15. Нехай А і В – випадкові події, Р0 – ймовірність того, що не відбудеться жодна з них, Р1– ймовірність того, що відбудеться одна і тільки одна подія, Р2 – ймовірність того, що відбудуться обидві події. Виразити Р0, Р1, Р2через Р(А), Р(В), Р(А В).

16. В одному ящику 5 білих та 10 чорних куль, в іншому – 10 білих та 5 чорних куль. Знайти ймовірність того, що хоча б з одного ящика буде витягнута одна біла куля, якщо з кожного ящика витягнули по кулі.

17. В ящику 10 червоних та 6 блакитних куль. Навмання витягають 2 кулі. Яка ймовірність того, що кулі будуть одного кольору?

18. Знайти ймовірність того, що навмання вибране двозначне число є кратним 2, або 5, або тому й іншому одночасно.

19. Маємо 10 лотерейних білетів. На кожний із них може випасти виграш із певною ймовірністю. Побудувати простір елементарних подій (множину Ώ) – числа білетів, на які випаде виграш, а також такі випадкові події: А – із 10 білетів виграють не більш як три; В – із 10 білетів виграють не менш як п’ять. Обчислити Р (А), Р (В), .

20. В електромережу ввімкнено 15 електролампочок. Кожна з них може перегоріти із певною ймовірністю. Визначити простір елементарних подій (множину Ώ) – числа електролампочок, що не вийдуть із ладу і такі випадкові події:

А – число електролампочок, що не вийдуть із ладу, буде не більшим від чотирьох;

В – від трьох до шести. Обчислити: Р (А), Р (В), .

21. Відомо, що Р (А) = 0,9. Чому дорівнює , якщо А Ì Ώ, А В ¹ Æ.

22. Відомо, що А Ì Ώ, В Ì Ώ. Чому дорівнює ?

23. Відомі значення , , . Знайти .

24. Відомі значення , , . З’ясувати, чи сумісні випадкові події А і В? Чому дорівнює ?

25. Відомі значення ; ; . Знайти .

26. Знайти ймовірність Р(А) за даними ймовірностями Р(А В) = 0,72, .

27. Знайти ймовірності Р(А ), Р( ) за даними ймовірностями Р(А)=a, Р(В)=b, Р(А В)=с.

 


Тема 5. Умовна ймовірність. Формули множення ймовірностей

1. В урні 6 білих і 6 чорних кульок. Із урни двічі навмання виймають по одній кульці без повернення. Знайти ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні, якщо при першому випробуванні витягли чорну кулю.

2. Підкидаємо два гральні кубики. Яка ймовірність того, що випаде хоча б один раз 6 очок, якщо сума очок дорівнює 8?

3. Три мисливці стріляють у ведмедя. При цьому ймовірність того, що влучить перший, дорівнює 0,2; другий – 0,4; третій – 0,6. Яка ймовірність того, що ведмедя вбив перший мисливець.

4. Консультаційний пункт інституту отримує пакети з контрольними роботами із міст А, В та С. Ймовірність отримати пакет із міста А дорівнює 0,7, із міста В – 0,2. Знайти ймовірність того, що наступний пакет інститут отримає із міста С.

5. Ймовірність того, що день буде дощовий, дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що день буде сонячний.

6. Із 100 валів з чотирма групами допусків 15 штук мають першу групу, 40 – другу, 30 – третю. Визначити ймовірність появи валів четвертої групи.

7. Подія А може з’явитися за умови, якщо з’явиться одна з несумісних подій (гіпотез) В1, В2, В3, які утворюють повну групу подій. Після появи подій А були переоцінені ймовірності гіпотез, тобто були знайдені умовні ймовірності цих гіпотез. Виявилося, що РА(В1) = 0,6; РА(В2) = 0,3. Чому дорівнює умовна ймовірність РА(В3) гіпотези В3?

8. Дано: РВ (А) = 0,7; Р (А) = 0,3; РА(В) = 0,6. Обчислити Р(А).

9. Нехай Р(А)>0 та Р (В) = Р (В). Довести, що А та В незалежні.

10. Відомі значення: Р(А) = 0,3, , Р(А / В) = 0,32. Знайти: Р(А∩В), Р(А∩В), Р(В / А), .

11. Ймовірність одержати повідомлення від певної особи протягом доби дорівнює 0,25. Яка ймовірність того, що повідомлення на протязі доби від цієї особи не буде одержане?

12. Підкидають два гральних кубики. Яка ймовірність того, що випаде принаймні одна трійка, якщо на двох кубиках випали різні грані?

13. Підкидають три гральних кубики. Яка ймовірність того, що принаймні один раз випаде шістка, якщо на всіх трьох кубиках випали різні грані?

14. З урни, в якій лежать m білих і n чорних куль, беруть послідовно дві кулі. Відомо, що перша куля біла. Яка ймовірність того, що друга куля теж буде біла?

15. Маємо три конусні та сім еліпсовидних валиків. Спочатку беремо один валик, потім інший. Яка ймовірність того, що перший валик був конусний, другий – еліпсовидний?

16. В урні знаходиться 5 білих, 4 чорних і 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання береться одна куля і назад не повертається. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла куля, при другому – чорна, при третьому – синя.

17. Знайти ймовірність одночасного попадання в ціль двома гарматами, якщо ймовірність попадання в ціль першою гарматою дорівнює 0,8, другою – 0,7.

18. Маємо три ящики, в яких містяться по 10 деталей. В першому ящику – 8, в другому – 7, в третьому – 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три взяті деталі стандартні.

19. У ящику лежать деталі трьох сортів: п’ять – першого, чотири – другого, три – третього. З ящика навмання виймають одну деталь і повертають назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться деталь першого сорту, при другому – другого, при третьому – третього.

20. Події А1 А2 ,…,Аn незалежні у сукупності. Знайти ймовірність того, що не відбудеться жодна з цих подій.

21. Об’єднання складається з двох підприємств. Ймовірність появи бракованої продукції на першому підприємстві 0,1, на другому – 0,2. Знайти ймовірність того, що продукцію без браку випустить тільки одне підприємство.

22. Три студенти складають екзамен з математики. Ймовірність того, що перший студент складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність відповідно дорівнює 0,8 і 0,7. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А – три студенти складуть екзамен;

В – три студенти не складуть екзамен;

С – два студенти складуть екзамен.

23. В урні міститься 9 червоних і 5 синіх кульок. Кульки з урни виймаються по одній без повернення. Таким чином вийняли чотири кульки. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А – з’явиться чотири червоні кульки;

В – з’явиться чотири сині кульки;

С – з’явиться дві сині і дві червоні кульки.

24. Відрізок розділений на три рівні частини. На цей відрізок кинули навмання три точки. Знайти ймовірність того, що на кожну із трьох частин відрізка попадає по одній точці. Ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка і не залежить від його розміщення.

25. У читальному залі знаходиться 6 підручників з теорії ймовірностей, із яких 3 в твердій обкладинці. Бібліотекар навмання взяв два підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручники в твердій обкладинці.

26. Для деякої місцевості середнє число хмарних днів у липні дорівнює шести. Знайти ймовірність того, що першого і другого липня буде ясно.

27. У цеху працює 7 чоловіків і 3 жінки. За табельними номерами відібрали три особи. Знайти ймовірність того, що:

а) всі відібрані особи виявляться чоловічої статі;

б) всі відібрані особи виявляться жіночої статі;

в) серед відібраних осіб буде дві жінки та один чоловік.

28. В ящику знаходяться 10 деталей, серед яких 6 пофарбованих. Навмання беремо 4 деталі. Знайти ймовірність того, що всі взяті деталі виявляться пофарбовані.

29. Студент знає 20 із 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає відповіді на три запитання, які поставив йому екзаменатор.

30. Студент прийшов на залік, знаючи відповідь на 24 питання з 30. Яка ймовірність скласти залік, якщо після правильної відповіді на запитання викладач задає ще одне запитання?

31. В урні міститься 9 червоних і 5 синіх кульок. Кульки з неї вий­маються по одній без повернення. Таким способом вийняли чотири кульки. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А – з’явиться чотири червоні кульки; 2) В – чотири сині; 3) С – дві червоні й дві сині кульки.

32. Задано множину цілих одноцифрових чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Навмання береться одне число, а потім друге, при цьому перше не повертається. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А – здобуте двоцифрове число виявиться непарним; 2) В – здобуте двоцифрове число ділиться на 5 або на 2.

33. Прилад складається з трьох елементів, які працюють незалеж­но один від одного. Ймовірність того, що перший елемент не вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює р1 = 0,9. Для другого і третього елементів ця ймовірність відповідно така: р2 = 0,8, р3 = 0,7. Обчислити ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу вийде: 1) А – три елементи; 2) В – два елементи; 3) С – один елемент; 4) D – всі три елементи не вийдуть із ладу. З’ясувати, чи утворюють випадкові події А, В, С, D повну групу.

34. Імовірність безвідказної роботи блока, що входить у систему впродовж певного часу дорівнює 0,9. Для надійності роботи системи встановлюється такий же блок, що буде знаходитись у резерві. Яка ймовірність безвідмовної роботи системи, коли при цьому враховувати резервний блок?

35. Радіолокаційна система, до якої входять дві станції, що працюють самостійно, виконує деяке завдання з виявлення літака-порушника повітряного простору України на певній ділянці кордону. Для виконання цього завдання необхідно, щоб у справному стані була хоча б одна радіолокаційна станція. Ймовірність безвідказної роботи першої станції дорівнює 0,95, а другої 0,85. Система працюватиме надійно, якщо буде справною хоча б одна радіолокаційна станція. Знайти ймовірність цієї події.

36. Робітник обслуговує три верстати-автомати, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що протягом години перший верстат потребує уваги робітника дорівнює 0,9, для другого та третього верстатів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,85 і 0,8. Яка ймовірність того, що протягом години уваги робітника потребують: 1) А – два верстати; 2) В – хоча б один із трьох?

37. В урні міститься 3 червоних, 1 синя і 2 зелених кульок. Із урни кульки виймають по одній без повернення. Кульки виймають до першої появи червоної. Обчислити ймовірність цієї події.

38. Для виготовлення деталі необхідно провести чотири незалеж­ні технологічні операції. Імовірність допустити брак при виконанні першої технологічної операції q1 = 0,1, і для другої, третьої і четвертої ці ймовірності дорівнюють відповідно q2 = 0,05, q3 = 0,15, q4 = 0,2. Яка ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться стандартною?

39. При вмиканні запалення мотор автомашини починає працювати із імовірностю Р = 0,9. Знайти ймовірності таких випадкових подій: 1) А – мотор почне працювати при другому вмиканні запалення; 2) для роботи мотора необхідно ввімкнути мотор не більше двох разів.

40. В урні чотири білі й три чорні кульки. Два гравці почергово виймають із урни по кульці, не повертаючи їх до урни. Виграє той гравець, який раніше витягне білу кульку. Знайти ймовірність того, що виграє перший гравець.

41. Відомо, що при підкиданні 10 гральних кубиків випала принаймні одна одиниця. Яка ймовірність того, що випаде дві одиниці або більше?

42. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% усіх жінок не розрізняють кольори. Навмання обрана особа – не розрізняє кольори. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати кількість чоловіків та жінок однаковою)

43. Кинуто послідовно три монети. Визначити, залежні чи незалежні випадкові події: =”випав герб на першій монеті”, =”випала хоча б одна решка”.

44. Два мисливці влучають у ціль з ймовірностями 0,7 та 0,8 відповідно. Кожен з них робить один постріл. Яка ймовірність того, що:

а) обидва влучать;

б) жоден не влучить;

в) хочаб один влучить;

г) лише один влучить у ціль.

45. Кинуто два гральних кубики. Розглянемо випадкові події: = „на першому кубику випало парне число очок”, = „на другому кубику випало непарне число очок”, = „сума чок на кубиках непарна”. Довести, що події попарно незалежні, але не є незалежними у сукупності.


Тема 6. Формула повної ймовірності. Формула Байєса

1. Маємо два набори деталей. Ймовірність того, що деталь першого набору стандартна, дорівнює 0,8, а другого – 0,9. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь (із навмання взятого набору) – стандартна.

2. У першій коробці знаходиться 20 радіоламп, серед них 18 стандартних; в другій коробці – 10 ламп, серед них 9 стандартних. Із другої коробки навмання взята лампа і перекладена в першу. Знайти ймовірність того, що лампа, навмання витягнута із першої коробки, стандартна.

3. Вивчають результати екзамену з математики у двох групах. У першій групі є 28 студентів, з них 10 отримали відмінну оцінку, а в другій відповідно – 22 і 7. Яка ймовірність того, що навмання вибраний студент отримав на екзамені відмінну оцінку?

4. У 10 ящиках складено деталі двох сортів. У перших трьох – по три деталі першого сорту і по сім деталей другого; в четвертому – дев’ять деталей першого і одна деталь другого сорту; в шести ящиках, що залишились, – по одній деталі першого і по дев’ять деталей другого сорту. З довільного ящика навмання виймають деталь. Визначити ймовірність того, що ця деталь другого сорту.

5. В урні міститься дві кулі. Поклали туди ще одну білу кулю, після чого навмання виймаємо одну. Знайти ймовірність того, що витягнута куля буде білою, якщо рівноможливі всі припущення про склад куль (по кольору).

6. В урні знаходиться n куль, кладемо туди ще одну білу кулю. Потім виймаємо навмання одну. Знайти ймовірність того, що витягнута куля буде білою, якщо рівноможливі всі припущення про склад куль (по кольору).

7. В обчислювальній лабораторії знаходиться 6 автоматів та 4 напівавтомати. Ймовірність того, що за час проведення деякого підрахунку автомат не вийде з ладу, дорівнює 0,95; для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,8. Студент проводить обрахунок на навмання обраній машині. Визначити ймовірність того, що до кінця обрахунку машина не вийде з ладу.

8. Маємо п’ять гвинтівок, три з яких з оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілок влучить у мішень при пострілі із гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Визначити ймовірність того, що по мішені буде влучено, якщо стрілок робить один постріл із навмання взятої гвинтівки.

9. В ящику знаходиться 12 деталей, виготовлених заводом №1, 20 деталей – заводом №2 і 18 – заводом №3. Ймовірність того, що деталь, виготовлена заводом №1, відмінної якості, дорівнює 0,9; для деталей, виготовлених на заводах №2 і №3, ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,6 і 0,9. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться відмінної якості.

10. У першій урні знаходиться 10 куль, 8 із яких білі; в другій урні – 20 куль, із них 4 білі. Із кожної урни навмання беруть по одній кулі, а потім із цих двох куль навмання беруть одну. Знайти ймовірність того, що витягли білу кулю.

11. У кожній із трьох урн знаходиться 6 чорних і 4 білих кулі. Із першої урни навмання витягли одну кулю і переклали її в другу урну, після цього із другої урни навмання витягли одну кулю і переклали в третю урну. Знайти ймовірність того, що куля, навмання взята із третьої урни, буде білою.

12. Ймовірність того, що під час роботи цифрової електронної машини відбудеться збій в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті, в інших пристроях, співвідносяться як 3:2:5. Ймовірність того, що збій буде знайдено в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті, в інших пристроях відповідно дорівнює 0,8; 0,9; 0,9. Знайти ймовірність того, що збій в машині буде знайдено.

13. Продукція виготовляється на двох підприємствах і надходить на спільну базу. Ймовірність виготовлення бракованої продукції для першого підприємства дорівнює 0,1, для другого – 0,2. Перше підприємство здало на склад 100 одиниць продукції, друге – 400. Знайти ймовірність того, що, навмання взята зі складу, одиниця продукції буде не бракованою.

14. На склад підприємства надходять деталі із трьох цехів. Перший цех відправив 100 деталей, другий і третій – по 200. Перший і другий цехи дають по 2% браку, третій – 1%. Знайти ймовірність того, що, навмання взята, деталь бракована.

15. Два верстати виготовляють деталі, які поступають на конвеєр. З першого верстата надійшло 400 деталей, а з другого на 50% більше. Перший верстат дає 2% браку, другий – 3%. Знайти ймовірність того, що, навмання взята, деталь з конвеєра бракована.

16. У першому ящику є 20 деталей, з яких 30% пофарбовано, у другому 10 деталей і 4% пофарбовано. Знайти ймовірність того, що деталь, взята з навмання вибраного ящика, пофарбована.

17. В урні 4 білі і 4 чорні кульки. Два гравці почергово виймають із урни по кульці, не повертаючи їх назад. Виграє той гравець, котрий раніше витягне білу кульку. Знайти ймовірність того, що: а) виграє перший гравець; б) виграє другий гравець.

18. Маємо три урни. У першій міститься 6 білих і 4 чорних кульки, у другій – 8 білих і 2 чорних і в третій – 1 біла і 1 чорна. Із першої урни навмання беруть три кульки, а із другої – дві і перекладають у третю урну. Яка ймовірність після цього вийняти із третьої урни білу кульку?

19. Серед N екзаменаційних білетів є п „щасливих”. Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більша ймовірність узяти „щасливий” білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?

20. Деталі, виготовлені цехом заводу, потрапляють для перевірки їх стандартності до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0,6, а до другого – 0,4. Ймовірність того, що придатна деталь буде визнана стандартною першим контролером, дорівнює 0,94, а другим – 0,98. Придатна деталь при перевірці визнана стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь перевіряв перший контролер.

21. В академічній групі 30 студентів, які складають екзамен з математики, із них 5 підготовлені відмінно, 10 – добре, 9 – задовільно і 6 – незадовільно. В екзаменаційних тестах міститься 10 питань. Відмінно підготовлений студент може відповісти на всі 10 запитань, добре підготовлений – на 7 запитань, задовільно підготовлений – на 5 запитань і незадовільно підготовлений – на 3 запитання. Навмання викликаний студент відповів на всі три запитання. Знайти ймовірність того, що це був студент: 1) відмінно підготовлений; 2) незадовільно підготовлений.

22. Ймовірність знищити літак з одного пострілу для першої гармати дорівнює 0,2, а для другої – 0,1. Кожна гармата робить по одному пострілу, причому було одне влучення у літак. Яка ймовірність того, що влучила перша гармата?

23. Телевізори виготовляють на трьох підприємствах. Брак на першому становить 10%, на другому – 5%, третьому – 15%. Випадковим чином купили телевізор, який виявився бракованим. Яка ймовірність того, що телевізор виготовлений:

а) першим підприємством;

б) другим підприємством;

в) третім підприємством? Порівняти ці ймовірності.

24. Система виявлення літака через наявність перешкод у зоні може давати помилкові покази з ймовірністю 0,05, а при наявності цілі в зоні система виявляє її з ймовірністю 0,9. Ймовірність появи противника в зоні дорівнює 0,25. Визначити ймовірність помилкової тривоги.

25. Два автомати виготовляють однакові деталі, які поступають на конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша за продуктивність другого. Перший автомат випускає в середньому 80% деталей без браку, а другий – 90%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилась без браку. Знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена другим автоматом.

26. Підприємство отримало деталі від трьох постачальників: від 1-го – 200 штук, з яких 4 браковані, від 2-го – 400 штук, з яких 2 браковані і від третього – 400, з яких 1% – браковані. Деталі на складі розміщені в контейнерах. Визначити ймовірність того, що, навмання взята, деталь з, навмання вибраного, контейнера виявиться бракованою. Яка ймовірність, що це буде деталь від 3-го постачальника?

27. За зміну на склад підприємства надходять вироби із трьох цехів в однакових кількостях. Перший цех виробляє 1% браку, другий – 3% і третій – 2%. Навмання взятий зі складу виріб виявився бракованим. Яка ймовірність, що він виготовлений у другому цеху?

28. Два економісти заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність зробити помилку в документі для першого економіста 0,1, для другого – 0,2. Перший економіст заповнив 40 документів, другий – 60. Навмання взятий з папки, документ виявився з помилкою. Визначити ймовірність, що його склав перший економіст.

29. У першому ящику є 20 деталей, з яких 16 стандартних, у другому відповідно 10 і 7. Навмання взята, деталь із випадковим чином вибраного ящика виявилася стандартною. Яка ймовірність, що деталь була взята з другого ящика?

30. Кількість вантажних автомобілів, що проїжджають по шосе, відносяться до кількості легкових автомобілів, що проїжджають по тому ж шосе, як 3:2. Ймовірність того, що заправлятиметься вантажний автомобіль, дорівнює 0,1; для легкового автомобіля ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхав автомобіль. Знайти ймовірність того, що він вантажний.

31. У лікарню поступають в середньому 50% хворих з хворобою К, 30% – з хворобою L, 20% – з хворобою М. Ймовірність повного одужання для хвороби К дорівнює 0,7, L – 0,8, М – 0,9. Хворий був виписаний з лікарні повністю здоровим. Знайти ймовірність того, що він хворів на хворобу К.

32. У піраміді 10 гвинтівок, із них чотири з оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілок влучить в мішень із гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілок влучив у мішень із, навмання взятої, гвинтівки. Що має більшу ймовірність: стрілок стріляв із гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього?

33. Дві перфораторщиці набили на різних перфораторах по одному комплекту перфокарт. Ймовірність того, що перша перфораторщиця припуститься помилки, дорівнює 0,05; для другої перфораторщиці ця ймовірність дорівнює 0,1. При зварці перфокарт виявили помилку. Знайти ймовірність того, що помилки припустилася перша перфораторщиця.

34. Виріб перевіряється на стандартність одним із двох перевіряючих. Ймовірність того, що виріб попаде до першого перевіряючого, дорівнює 0,55, а до другого – 0,45. Ймовірність того, що стандартний виріб буде визнано стандартним першим перевіряючим, дорівнює 0,9, а другим – 0,98. Стандартний виріб при перевірці було визнано стандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевіряв другий перевіряючий.

35. Маємо три партії деталей по 20 деталей в кожній. Кількість стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно дорівнюють 20, 15, 10. Із, навмання вибраної, партії навмання вибрана деталь, яка виявилася стандартною. Деталь повертають в партію і другий раз навмання витягають деталь, яка теж виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були взяті із третьої партії.

36. Батарея із трьох гармат зробила залп, при цьому два снаряди попали в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата влучила, якщо ймовірність попадання першою, другою і третьою гарматами відповідно дорівнює 0,4, 0,3, 0,5.

37. Два із трьох незалежно працюючих елементів обчислювального пристрою відмовили. Знайти ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірність відмови першого, другого і третього елементів відповідно дорівнює 0,2, 0,4 і 0,3.

38. У першому ящику маємо 8 стандартних і 2 браковані деталі, а у другому – 5 стандартних і 5 бракованих. Ящики мають однаковий зовнішній вигляд. З, навмання вибраного, ящика взято (також навмання) дві деталі, які виявилися стандартними. Яка ймовірність того, що їх взяли з другого ящика?

39. Маємо два однакових ящики. У першому з них 8 пар взуття 41-го розміру та 6 пар 42-го розміру, а в другому – 10 пар 41-го розміру та 4 пари 42-го розміру. 3, вибраного навмання, ящика витягли одну пару взуття 42-го розміру. Знайти ймовірність того, що ця пара взята з першого ящика.

40. У рибалки є три улюблених місця, куди він приходить з однаковою імовірністю. Ймовірність кльову на першому місці дорівнює 1/3, на другому – 1/2, на третьому – 1/4. Рибалка закинув вудку у, навмання вибраному, місці, і риба клюнула. Знайти ймовірність того, що рибалка закинув вудку у першому місці.

41. Ймовірність того, що кольоровий телевізор не зіпсується протягом гарантійного терміну дорівнює 0,7, для телевізора з чорно-білим зображенням ця ймовірність на 0,2 більша. Взятий навмання телевізор зіпсувався протягом гарантійного терміну. Знайти ймовірність того, що це був кольоровий телевізор; чорно-білий. Порівняти ці ймовірності.

42. На складання агрегату надходять деталі, які виготовляються двома верстатами-автоматами. Перший верстат виготовляє в середньому 0,2% бракованих деталей, а другий 0,1%. Знайти ймовірність надходження бракованої деталі на складання, якщо від першого верстата надійшло 2000 деталей, а від другого – 3000.

43. В ящику міститься 20 тенісних м’ячів, із них 12 нових і 8, які були в користувані. Із ящика навмання беруть два м’ячі і після закінчення гри повертають у ящик. Після цього із ящика навмання вибирають знову два м’ячі для наступної гри. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А – два м’ячі, що вийняли із ящика, ще не були в користуванні; 2) В – два м’ячі вже були в користуванні.

44. У першому ящику міститься 6 стандартних і 5 бракованих деталей. Із першого ящика навмання беруть чотири деталі й перекладають у другий, в якому до цього містилося дві стандартні й одна бракована деталі. Яка ймовірність після цього із другого ящика вийняти одну стандартну деталь?

45. В урні міститься 4 зелених і 8 червоних кульок. Кульки із урни виймають по одній без повернення. Таким способом було вийнято три кульки. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А – перша кулька буде червоною, друга – зеленою, третя – червоною; 2) В – перша кулька буде зеленою, друга – червоною, третя – зеленою.

46. Маємо три урни. У першій міститься 8 білих і 2 чорних кульки, у другій – 5 білих і 5 чорних, у третій – 2 білих і 8 чорних. Навмання підкидають гральний кубик. Якщо випаде на грані число кратне 2, то навмання беруть дві кульки з першої урни, якщо випаде число кратне 5 – дві кульки з другої урни, і якщо випаде число, яке не буде кратним ні 2, ні 3 – дві кульки з третьої урни. Знайти ймовірність появи двох білих кульок у такому експерименті.

47. Деталь може надійти для обробки на перший верстат із імовір­ністю 0,2, на другий верстат – із імовірністю 0,3 і на третій – із імовірностю 0,5. При обробці деталі на першому верстаті ймовірність допустити брак дорівнює 0,01, на другому і третьому верстатах ця ймовірність відповідно дорівнює 0,05 і 0,08. Оброблені деталі вміщують в одну шухляду. Навмання взята звідти, деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її обробляв перший верстат?

48. Пасажир для придбання квитка може звернутись до однієї з чотирьох кас. Відповідні ймовірності дорівнюють р1 = 0,2, р2 = 0,3, р3 = 0,4, р4 = 0,1. Імовірність того, що до моменту появи пасажира в касі буде квиток, дорівнює відповідно Р1 = 0,6, Р2 = 0,3, Р3 = 0,8, Р4 = 0,5. Пасажир звернувся до однієї із кас і купив квиток. Яка ймовірність того, що квиток пасажир придбав у першій касі?

49. Троє робітників виготовляють однотипні деталі. Причому за зміну перший робітник виготовив у 1,5 раза більше, ніж другий, а другий в 1,8 раза менше, ніж третій. У середньому брак становить для першого робітника 4%, для другого і третього – 1 і 8%. Виготовлені деталі розміщують в одному ящику. Навмання взята, одна деталь із ящика виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її виготовив другий робітник?

50. Чотири робітники виготовляють однотипні вироби. При цьому продуктивність праці цих робітників задовольняє таке відношення: 2 : 1,5 : 4 : 2,5. Відомо, що частка браку, % для першого, другого, третього та четвертого робітників дорівнює відповідно 1,5, 2,8, 2, 4,5. Після робочої зміни всі виготовлені робітниками вироби вміщують в один бункер. Навмання взятий, виріб із бункера виявився стандартним. Яка ймовірність, що його виготував перший або третій робітник?