Дифференциальные уравнения I порядка. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y(x) и ее производные различных порядков по x. Порядок старшей производной, входящей в данное уравнение, называется порядком этого уравнения. В общем виде дифференциальное уравнение порядка n имеет вид
. (1)
В уравнении (1) могут отсутствовать x, y или отдельные производные порядка ниже n.
Всякая функция 
, при подстановке которой в (1) получается верное равенство, называется решением этого дифференциального уравнения.
Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – значит найти все его решения в заданной области. Всякое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения (1) называется его решение 
, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок этого уравнения. Если общее решение задано в неявном виде 
, то его называют общим интегралом.
Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения приданием определенных значений произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение I порядка имеет вид
. (2)
В простейших случаях его можно разрешить относительно производной и представить в виде
. (3)
Поскольку геометрический смысл производной в точке – тангенс угла наклона касательной, проведенной к интегральной кривой в этой точке, а угол определяет направление, то для дифференциального уравнения (3) говорят о поле направлений, заданном в области определения функции 
.
Если требуется найти решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее заданному начальному условию 
, то говорят о задаче Коши.
Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении (3) функция и ее частная производная 
непрерывны на множестве D плоскости Oxy. Тогда для всякой точки 
найдется решение 
уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию 
. При этом если два решения уравнения (3) 
и 
совпадают хотя бы для одной точки 
, т.е. 
, то они совпадают для всех значений аргумента из их областей определения.
Приведенная теорема устанавливает условия существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений I порядка.
Не существует общего метода интегрирования дифференциальных уравнений I порядка.
Дифференциальные уравнения I порядка