Выборку, при которой отбор проводится случайным обра-

Зом, называют случайной, если ее проводят механически через

Равные интервалы — то механической.

Метод типического отбора предполагает предварительное

Разделение генеральной совокупности на некоторые однород-

Ные группы, а затем отбор из них осуществляется одним из

Рассмотренных выше способов.

С точки зрения оценки ошибки репрезентативности выбо-

Рочных данных различают большие и малые выборки. Выбор-

Ку считают большой, если число единиц в ней более ста, и ма-

Лой — если число единиц двадцать-тридцать и менее.

Нахождение ошибок

И объема большой выборки

Одна из задач, которую позволяет решать выборочный ме-

Тод, — нахождение ошибки выборки. В теории статистики оп-

Ределяют среднюю (стандартную), предельную и относитель-

Ную ошибки выборочного наблюдения.

В теории вероятностей доказывается, что при случайном

И механическом отборах средняя ошибка выборки для средней

величины (Wi) находится следующим образом:

− для повторного отбора

; (7.1)

− для бесповторного отбора:

, (7.2)

Где — дисперсия количественного признака генеральной

Совокупности;

k — численность выборки;

n — численность генеральной совокупности.

В реальности , как правило, неизвестна. Поэтому ее за-

Меняют выборочной дисперсией . При большой выборке

≈ , при малой — соотношение между и определя-

Ется формулой

. (7.3)

Если мы рассматриваем качественный признак, то его дис-

Персия в генеральной совокупности определяется формулой

(6.42). При нахождении средней ошибки качественного призна-

Ка его дисперсия в генеральной совокупности, как правило, не-

Известна и заменяется выборочной дисперсией ( ).

Формулы для определения средней ошибки альтернатив-

ного (качественного) признака имеют вид:

− для повторного отбора

; (7.4)

− для бесповторного отбора

, (7.5)

Где

, (7.6)

Sв — доля единиц выборки, обладающая качественным

Признаком.

Величина всегда меньше единицы, следовательно,

Сопоставление приведенных выше формул говорит о том, что

Применение формул бесповторного отбора обеспечивает мень-

Шую ошибку.

Предельная ошибка выборки (Δ) есть t-кратная средняя

Ошибка, т. е.

Δi = t ⋅ Wi, (7.7)

где t — коэффициент доверия, который обычно берут равным

1, 2, 3.

Формула предельной ошибки вытекает из закона больших

Чисел. В частности, из теоремы Чебышева следует, что при до-

Статочно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии

Генеральной совокупности выборочные обобщающие показа-

Тели будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих

Показателей генеральной совокупности.

Например, для среднего арифметического на основании

Формулы (2.46) получим

:

− для t = 1 имеем ;

− для t = 2 имеем ;

− для t = 3 имеем ,

Где — выборочное среднее арифметическое;

— генеральное среднее арифметическое;

Φo (1); Φo (2); Φo (3) — находятся по таблице приложения 5.

То есть при t = 1 с вероятностью 0,6826 можно утверж-

Дать, что разность между выборочными и генеральными па-

раметрами не превзойдет одной средней ошибки выборки Wi..

При t = 2 с вероятностью 0,9544 она не превзойдет двукрат-

ной средней ошибки выборки 2Wi. При t = 3 с вероятностью

Она не превзойдет трехкратной средней ошибки вы-

борки 3Wi.

Вероятность появления ошибки, равной или большей 3Wi,

Очень мала и равна 0,0027. Такие события можно считать прак-

тически невозможными, а, следовательно, величину ΔI = t ⋅ Wi

Можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Зная предельную ошибку выборки можно определить пре-

Дельные значения характеристик генеральной совокупности и

Их доверительные интервалы.

Например, для средней арифметической имеем:

, (7.8)

А для доли единиц выборки, обладающих каким-либо качест-

венным признаком, получим:

S = Sв + ΔS. (7.9)

При проектировании выборочного наблюдения, как прави-

Ло, задается допустимая ошибка выборки, а это дает возмож-

Ность, найти объем выборки, которая с определенной вероят-

Ностью обеспечит заданную точность наблюдения.

Необходимый объем выборки получают из формул (7.1),

(7.2), (7.4), (7.5).