Квадрупольное и магнитное дипольное излучение
Если в дипольном приближении излучение отсутствует, то следует учитывать старшие члены разложения по степеням собственного запаздывания в системе, которую будут определять излучения высших порядков: квадрупольное, октупольное.
Рассмотрим приближение следующего после дипольного порядка. Запишем вектор-потенциал в виде:
(1)
описывает дипольное приближение. Рассмотрим 
:
(2)
Здесь воспользовались тем, что 
и 
не зависят от времени. Далее по формуле
преобразуем (2) к виду:
(2’)
Первый интеграл можно представить в виде:
(3)
где 
-- магнитный момент системы зарядов.
Например, для любой трубки с током 
, где:
- сечение;
- постоянный ток;
- элемент длины трубки;
Тогда, 
. Видно, что величина 
- это площадь боковой поверхности конуса, опирающегося на контур с током. В частном случае плоского замкнутого контура за 
можно выбрать вектор нормали к поверхности контура, умноженный на его площадь. Тогда 
-- формула имеет наглядную интерпретацию: всякий замкнутый ток (например одна или несколько частиц движется по замкнутой траектории) обладает магнитным моментом пропорциональным величине тока.
Второй интеграл представим виде:
Для системы точечных зарядов:
-- тензор квадрупольного момента системы зарядов. В случае непрерывного распределения зарядов имеем:
Для 
имеем:
(5)
Первое слагаемое описывает дипольное излучение; второе – зависит от производной по времени от магнитного момента системы и соответствующее ему слагаемое называется магнитным дипольным излучением; третье—определяет квадрупольное излучение. Оценим порядок величин в (5):
поэтому: 
Величина 
-- характерный размер системы.
Т.к. в данном приближении 
и 
, то слагаемое, отвечающее магнитному дипольному приближению и квудрупольному приближению весьма малы по сравнению с первым, отвечающим дипольному излучению. Таким образом они играют роль только для систем, у которых дипольное излучение отсутствует.
Пример, квудруполь: электронейтральная система с нулевым дипольным моментом-- это 2 равных по величине диполя с противоположными по направлению дипольными моментами и находящиеся бесконечно близко друг к другу.
Магнитное дипольное излучение отсутствует у систем, магнитный момент которых сравним с механическим моментом. Например для системы из двух произвольных частиц, у которых отношение q/m одинаково. Поэтому это излучение отсутствует при соударениях двух частиц.
Тензор Q определяется неоднозначно. Его можно так изменить, что это изменение не приведет к изменению потенциалов. Обычно вместо Q рассматривают тензор 
, обладающий важным свойством: его след равен 0.