Отражение и преломление плоских волн на границе раздела изотропных сред

Рассмотрим простое падение плоской электромагнитной волны на границу раздела двух изотропных сред, характеризующихся параметрами . Векторы напряженности электромагнитного поля такой волны зависят от времени и радиус-вектора:

где ― вектор рефракции, , ― показатель преломления среды, ― задает направление распространения волны.

Граничные условия:

Полагаем, что поверхностная плотность зарядов и токов равны нулю, и относятся соответственно к первой и второй средам.

Из этих соотношений и из соотношения находим:

Так как векторные амплитуды и постоянны, то ― линейное соотношение между экспоненциальными функциями, которые должны выполняться во всех точках границы раздела в любой промежуток времени. Но эти экспоненты с различными показателями линейно независимы. Значит, соотношение будет выполняться только при:

Перепишем выражение в виде:

Выражение справедливо только в точках границы, то есть при условии

Сравнивая и и учитывая, что в пределах границы ― произвольный вектор, запишем выражение

,

которое можно переписать в виде:

Умножая и учитывая, что

1

― это оператор проектирования на плоскость границы раздела. Видим, что и лежат в одной плоскости, перпендикулярной , а также имеют одну и ту же проекцию на границу раздела:

При этом ( (1 ) )

Соотношения и позволяют записать геометрические законы отражения и преломления в форме:

Пусть ― отражение и преломление

Из , и получим:

Введем понятие поверхностного импеданса плоской волны, по определению связывающее векторы :

В изотропной среде:

Учитывая, что , где

где ― псевдообратный к оператору , то есть такой, что

― обратного не существует

Из находим:

Исключая отсюда , находим

где ― тангенциальная составляющая

Аналогично исключая :

Подставляя в и и учитывая, что , , получим:

где

Для полных напряженностей поля, чтобы найти операторы и , воспользуемся условием ортогональности:

Умножая на собственный вектор и учитывая, что

с помощью находим, что

Учитывая, что , из и находим:

Окончательно формулы примут следующий вид

и ― операторы отражения и пропускания для полных векторов.