Достаточные условия экстремума
Для функций многих переменных условие
является достаточным условием минимума (максимума). Аналогичных условий для второй вариации
(т.е.
или
) не хватает, чтобы получить достаточные условия экстремума для вариационной задачи. Для этого привлекают дополнительные условия, основанные на рассмотрении полей экстремалей. Мы будем рассматривать достаточные условия для слабого и сильного экстремумов для задачи Лагранжа (7.2.1) нахождения экстремума функционала
,
,
.
Будем говорить, что экстремаль можно расположить в поле экстремалей, если существует семейство экстремалей
, где
– параметр, такое, что
– оно покрывает определенную область плоскости
так, что через каждую точку
проходит ровно одна экстремаль семейства;
– для данного получаем исходную экстремаль
, причем она лежит не на границе области
.
Поле экстремалей называется центральным, если все кривые поля исходят из точки (центр семейства экстремалей). Наклон проходящих через точку
экстремалей поля называется градиентом поля в точке
и обозначается
;
как функция от
называется градиентной функцией.
Достаточным условием для включения экстремали в поле экстремалей (с центром является условие Якоби
.
Определим Е – функцию Вейерштрасса
,
где - градиентная функция.
Достаточные условия экстремума:
а) Функция доставляет функционалу
слабый экстремум, если
1) является экстремалью, то есть удовлетворяет уравнению Э - Л и граничным условиям
,
;
2) может быть включена в поле экстремалей;
3) знак функции не изменяется во всех точках
, которые лежат достаточно близко от экстремали
, и для всех значений
, лежащих вблизи градиентной функции
на экстремали. Функция
доставляет функционалу минимум при
и максимум при
.
б) Функция доставляет функционалу
сильный (локальный) экстремум, если
1) выполнены пп. 1) и 2) условий а);
2) функция не изменяет свой знак для всех точек
, лежащих в достаточной близости от
, и для любых значений
. Функция у доставляет функционалу минимум при
и максимум при
.
Пример 7. Найти экстремум функционала
.
С учетом специального вида функции , имеем
, и тем самым
, т.е. экстремали являются прямыми вида
. Отсюда, с учетом граничных условий найдем экстремаль
.
Условие Лежандра выполнено в строгой форме:
.
Решение дифференциального уравнения Якоби (5.13)
имеет вид . Отсюда для сопряженной точки имеем
. Следовательно, экстремаль
удовлетворяет условиям Лагранжа и Якоби и может быть включена в поле экстремалей
. Функция
имеет вид:
Первый сомножитель - функции всегда неотрицателен, а второй положителен для значений
, которые расположены около 1 , то есть
реализует слабый (локальный) минимум функционала. Условие сильного экстремума не выполнено, так как при
- функция отрицательна.
Пример 8. Найти экстремум функционала
.
Экстремали этой задачи имеют вид
.
Применение граничных условий дает . Условия Лежандра и Якоби выполнены. Экстремаль
может быть включена в поле
.
Из соотношения видно, что
для всех
. Поэтому экстремаль
реализует сильный (локальный) минимум.