Функция и уравнения Беллмана
Рассмотрим задачу (9.1.5)– (9.1.8) с измененными начальными условиями:
, (9.2.1)
,
,
,
, (9.2.2)
,
,
, (9.2.3)
,
,
, (9.2.4)
где точка и целое число
фиксированы. Через
обозначим множество управлений
, удовлетворяющих (9.2.4) и таких, что соответствующая траектория
из (9.2.5) удовлетворяет фазовым ограничениям (9.2.3). Пару
будем называть допустимой для задачи (9.2.1)–(9.2.4), если
. Допустимую пару
назовем решением задачи (9.2.1)–(9.2.4), если
а – оптимальным управлением,
– оптимальной траекторией задачи (9.2.1)–(9.2.4).
При также и
хотя бы для одного
. Введем функцию
,
называемую функцией Беллманазадачи (9.1.5)-(9.1.8). Ее область определения – множество . Функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) удовлетворяет рекуррентным соотношениям, называемымуравнением Беллмана.
Теорема 1. Функция Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) необходимо является решением уравнения
,
, (9.2.5)
где ,
,
, (9.2.6)
Верно и обратное: функция ,
.
, определяемая условиями (9.2.5), (9.2.6), является функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8).