Формулировка принципа максимума
Постановка задачи. Рассмотрим задачу оптимального управления со свободным правым концом и фиксированным временем. Пусть требуется минимизировать функцию
(8.2.1)
при условиях
, (8.2.2)
, 
, (8.2.3)
, 
заданы. (8.2.4)
где моменты 
предполагаются заданными, управление является кусочно-непрерывной функцией, множества допустимых управлленний V не зависят от времени, фазовые ограничения заданы только на начальном конце отрезка.
Для 
обозначим частные производные
,
, 
, 
Сопряженная система. Введем сопряженную систему
, (8.2.5)
где 
, 
, 
, 
, или в координатной форме
. (8.2.5)
Подчиним выбор сопряженной вектор-функции условию
. (8.2.6)
Введем функцию, называемую функцией Гамильтона
(8.2.7)
Вывод принципа максимума опирается на исследование условий при которых вариации функционала (8.2.1) в точке оптимума были бы неотрицательны
для любых допустимых вариаций 
.