Метод динамического программирования
Согласно результатам теоремы 1, пользуясь условиями (9.2.5), (9.2.6), мы можем последовательно определить функции 
и их области определения 
.
Действительно, 
, 
– известны.
Пусть известны 
и 
. Для определения 
нужно решить задачу минимизации функции
по переменным 
на известном множестве
.
Для решения этой задачи могут быть использованы методы НЛП. Функция определена в точке 
тогда и только тогда, когда 
. Следовательно, при определении значения функции одновременно находится и область ее определения
.
Так как хотя бы при одном 
, то 
.
Предположим, что из условий (9.2.5), (9.2.6) найдены функции и пусть также известны функции 
на которых достигается нижняя грань в правой части (9.2.5). Тогда несложно выписать решение задач (9.1.5)-(9.1.8) и (9.2.1)-(9.2.4).
Оптимальное управление – 
, оптимальная траектория – 
задачи (9.1.5)–(9.1.8) определяются следующим образом: сначала из условия
(9.3.1)
находим 
. Затем, используя зависимости 
и (9.1.6) последовательно определяем оптимальное управление и оптимальную траекторию
, 
, 
. (9.3.2)
Оптимальное управление – 
, оптимальная траектория – 
задачи (9.2.1)–(9.2.4) определяются по формулам, аналогичным (9.3.2), при этом фиксируется начальное состояние:
1) 
; 2) 
, 
, 
. (9.3.3)
Сформулируем отмеченные результаты в виде соответствующих теорем. Первая из теорем устанавливает взаимосвязь оптимального решения и рекуррентных соотношений Беллмана.
Теорема 2. Пусть из соотношений (9.2.6), (9.2.5) последовательно определены функции и их области определения , а также функции 
, на которых достигается нижняя грань в уравнении (9.2.5), и пусть 
определено условием (9.3.1). Тогда оптимальное управление 
и оптимальная траектория 
задачи (9.1.5)–(9.1.8) определяются соотношениями (9.3.1)–(9.3.2).
В теории оптимального управления и ее приложениях важное место занимает так называемая проблема синтеза, заключающаяся в построении функции , выражающей собой оптимальное управление при условии, что в момент 
объект находится в точке 
фазового пространства. Далее теорема показывает, что решение уравнения Беллмана (9.2.5) равносильно решению проблемы синтеза для задачи (9.2.5)-(9.2.8). А именно, функция , на которой достигается нижняя грань в (9.2.5), является синтезирующей: если в момент объект находится в точке 
, то дальнейшее оптимальное движение объекта определяется условиями:
, 
.
Теорема 3. Пусть из соотношений (9.2.6), (9.2.5) последовательно определены функции и их области определения , а также функции , на которых достигается нижняя грань в уравнении (9.2.5). Тогда оптимальное управление и оптимальная траектория 
задачи (9.2.1)–(9.2.4) определяются формулами (9.3.3).
Согласно результатам теоремы 3 оптимальное управление задачи (9.1.5)–(9.1.8) обладает тем свойством, что для произвольного 
оптимальное управление 
и оптимальная траектория * задачи (9.2.1)–(9.2.4)при заданном начальном состоянии 
совпадают с отрезками оптимального управления и оптимальной траекторией задачи (9.1.5)–(9.1.8). Последнее утверждение является одной из формулировок принципа оптимальности.
Существуют задачи типа (9.1.5)-( 9.1.8), когда нижняя грань в (9.2.5) или (9.3.1) не достигается. В таких задачах приходится пользоваться величинами, лишь приближенно реализующими нижнюю грань.