Постановка задачи оптимального управления
Рассмотрим задачу оптимального управления:
, (9.1.1)
, 
, 
, (9.1.2)
, (9.1.3)
, (9.1.4)
, 
– кусочно–непрерывна
Моменты времени 
, 
будем считать заданными. Дифференциальные уравнения в (9.1.2) описывают движение некоторого управляемого объекта (течение управляемого процесса, изменения управляемой системы) в зависимости от времени t. Предполагается, что вектор (фазовые координаты) характеризует движение объекта (например, координаты объекта), а вектор 
характеризует управление объектом (например, «положения рулей» объекта) в момент времени t. Согласно (9.1.2), начальное состояние объекта определено . Если управление определено, то фазовые координаты объекта определяются как решение задачи Коши
, 
, .
Для приближенного решения задачи разобьем отрезок на 
частей точками 
и приняв эти точки в качестве узловых, заменим интеграл в (9.1.1) квадратурной формулой прямоугольников, уравнения (9.1.2) – разностными формулами с помощью явной схемы Эйлера. В результате придем к дискретной задаче оптимального управления:
, (9.1.5)
, 
, 
, 
, (9.1.6)
, , (9.1.7)
, 
, 
, (9.1.8)
где 
, 
, 
, 
. Задача (9.1.5)– (9.1.8) имеет самостоятельный интерес и возникает при описании управляемых дискретных систем, в которых сигналы управления поступают в дискретные моменты времени, фазовые координаты также меняются дискретно.
Система (9.1.6) с некоторым дискретным управлением 
однозначно определяет соответствующую дискретную траекторию 
обозначим ее 
. Зафиксируем некоторое 
и через 
обозначим множество управлений 
таких, что 1) выполнены условия (9.1.8); 2) дискретная траектория 
, соответствующая управлению и выбранному начальному условию 
, удовлетворяет ограничениям (9.1.7). Следовательно:
удовлетворяет (9.1.8); траектория 
удовлетворяет (9.1.7)}.
Пару (u0 , х0), состоящую из управления и траектории, будем называть допустимой для задачи (9.1.5)–(9.1.8), если эта пара удовлетворяет всем условиям (9.1.6)–( 9.1.8) или, иначе говоря, 
. Если 
при всех , то условия (9.1.6)–
(9.1.8) несовместны и функция (9.1.5) будет определена на пустом множестве.
Обозначим
.
Задача (9.1.5)–(9.1.8) формулируется кратко:
минимизировать 
при 
.
Допустимую пару 
назовем решением задачи (9.1.5)–(9.1.8), если
.
Будем называть 
– оптимальным управлением, 
– оптимальной траекторией задачи (9.1.5)–(9.1.8).
Задача (9.1.5)–(9.1.8) является задачей минимизации функции 
переменных и для ее решения, в принципе, могут быть использованы методы нелинейного программирования (НЛП). Отмеченная размерность в практических задачах может быть очень высокой, а множества , 
заданы неявно, что сильно усложняет задачу НЛП.