Тема 5. Логарифм числа. Логарифмічна функція.
Логарифмічні рівняння.
Означення логарифма
Логарифмом додатного числа 
за основою 
( 
> 0, ≠ 1) називається такий показник степеня, до якого треба піднести основу ,щоб дістати число .
|
, оскільки 
Приклади:
1) 
2 8 = 3 , оскільки 23 = 8
2) 5 25 = 2 , оскільки 52 = 25
3) 4 64 = 3 , оскільки 43 = 64
4) 3 
= -2 , оскільки 3-2 =
5) 15 
= -1 , оскільки 15-1 =
6) 15 
= 1 , оскільки 151 = 15
7) 12 1 = 0 , оскільки 120 = 1
Властивості логарифмів
1. 
= - основна логарифмічна тотожність
2. 
= 1
3. 1 = 0
4. 
+ 
= ( 
)
5. 
= 
6. p = 
7.5 WNfIWb6voNzQkRBduHp7J9orNyo/h9028V5BRSQF39DrzrTCvqsXGWxHyiaTYAZbRRN3JE81bSfN d+LZ4pwY3YyLgzl7rtrlQkahaes6rmx9PaSazJzimfPKFa+NABspNEyzPf3KW5eD1WrHj38BAAD/ /wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQC6XV473gAAAAgBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/NTsMwEITv SLyDtUjcqN2kITRkU1VISHBsA624ufGSBPwTxW4b3h73BMfZGc18W64mo9mJRt87izCfCWBkG6d6 2yK81c93D8B8kFZJ7Swh/JCHVXV9VcpCubPd0GkbWhZLrC8kQhfCUHDum46M9DM3kI3epxuNDFGO LVejPMdyo3kixD03srdxoZMDPXXUfG+PBqHPlx9f+ZrqepHs9un8Vb+YzTvi7c20fgQWaAp/Ybjg R3SoItPBHa3yTCNk6TImERZpBuziZyIeDgh5IoBXJf//QPULAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAh ALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAU AAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAU AAYACAAAACEAzES/cwEDAAArBgAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAul1eO94AAAAIAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABbBQAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1s UEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAGYGAAAAAA== " adj="18432,20808,12924" fillcolor="black [3200]" strokecolor="black [3213]" strokeweight="1pt"/> 
= 
8. = 
9. = 
Приклади:
Знайти значення виразу:
1) 
81 3 = 
3 = 
3 3 =
2) 3 
= 3 3-3 = -3 3 3 = -3
3) 25 125 = 
53 = 3 
5 5 = 
= 1,5
4) 0.5 32 = 
32 = 
32 = 
2 25 = -5
Десятковий логарифм
Логарифм за основою 10 називають десятковим і позначають 
Отже, 
10 = 1 ; 0,1 = 
100 = 2 ; 0,01 
2
1000 = 3 ; 0,001 = 
10000 = 4 .
Натуральний логарифм
Логарифм за основую e (е ≈ 2,72…) називають натуральним логарифмом і позначають 
Отже , 
e = 1
1 = 0
Приклад. Знайти значення виразу:
1) 64 
= 
= 
= 
2) 
= 
= 
= 49
Логарифмічна функція
Функція виду 
, де 
, 
називається логарифмічною функцією.
При 
0 1
функція зростає | При 
0 1
функція спадає |
1) 
2) 
Приклад. Побудуйте графіки функцій :
1) 
2 
2 
| 
| ||||
|
| -1 |
|
|
| ||||
|
| -1 | -2 | -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 2 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Орієнтир знаходження ОДЗ логарифмічної функції
ОДЗ: 
Приклад 1. Знайти область визначення функції:
1) 
6 (5 + 8) ОДЗ: 5 + 8 > 0
5 > 
,6
Відповідь: 
- 1,6
2) 5 (3 – 2 – 2) ОДЗ: 3 – 2 – 2 > 0
1 = -3
2 = 1
|
|
Відповідь: 
3) 
ОДЗ: 
|
|
| -4 |
(-4 ; 1) U (1 ; 2)
Приклад 2.
Знайти 
, якщо
3 
6 2 + 0,5 6 25 – 2 6 3 .
Маємо: 6 
+ 6 
– 6 
;
6 
6 8 + 6 5 – 
g6 9 ;
6 6 
;
; 
.
Відповідь: 4 
Приклад 3.
Знайти значення виразу:
= 
= 
= 
= 
Приклад 4.
Знайти значення виразу:
251 
25 
25 4 = 100
Логарифмічні рівняння
найпростіших логарифмічних рівнянь
Якщо 
,тоді 
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння :
1) 
(2 
+ 1) -1 ОДЗ: 2 + 1 > 0
2 + 1 ( 
)-1 2 > 1
2 + 1 2 > 
2 1 
( ;+∞)
Відповідь:
2) 
ОДЗ : 
Відповідь: 7,9
3) 
ОДЗ: 
x
Відповідь: 13
4) 
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь : 3
5) 
ОДЗ : 
;
1 
;
( 
2) 
( 11)= 
Відповідь: 14
Логарифмічні рівняння, які розв’язуються методом заміни змінної
Приклад 1.
Розв’яжіть рівняння:
змінної : 
, t 
Одержуємо: 
Повертаючись до заміни , маємо:
1) 
2) 
Відповідь : 
Приклад 2.
Розв’яжіть рівняння:
ОДЗ : 
x+2 
заміну змінної: 
Одержуємо :
Повертаючись до заміни, маємо:
або 
Відповідь : 
Приклад 3.
Розв’яжіть рівняння:
ОДЗ : 2 
Зробимо заміну змінної : 
=0
=0
3 
або 
Повертаючись до заміни, маємо:
1) 
2) 
Відповідь : 1; 2
Вправи для самостійного розв’язування до теми 5:
1. Знайти:
1) 
4) 
7) 
2) 
5) 
8) 
3) 
6) 
9) 
.
2. Знайти значення виразу :
1) 
4) 
7) 
2) 
5) 
8) 
3) 
6) 
9) 
.
3. Знайти область визначення функції :
1) 
6) 
2) 
7) 
3) 
8) 
4) 
9) 
5) 
10) 
4. Обчисліть значення виразу:
1) 
; 2) 
.
5. Розв’яжіть рівняння:
1) 
2 ; 6) 
;
2) 
; 7) 
;
3) 
; 8) 
;
4) 
; 9) 
.
5) 
;
6. Розв’яжіть рівняння
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
7. Розв’яжіть рівняння
1) 
; 4) 
;
2) 
; 
;
3) 
; 
.
8. Розв’яжіть рівняння
1) 
2) 
;
4) 
5) 
6) 
( 2) 
( 3) 
2;
7) 
8) (4 
5) 
( 
2) 0 ;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
13) 
;
14) 
;
15) 
16) 
17) 
18) 2 
19) 
;
20) 3 
21) (10 
) 
(0,1 ) 
.
Тема 6. Логарифмічні нерівності.
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей треба враховувати:
- властивості лінійних нерівностей;
- властивості монотонності логарифмічної функції та область її визначення.