Методика розв’язання задач

1) Визначити тіла, що входять до механічної системи.

2) Визначити зовнішні сили, що діють на систему.

3) Якщо всі зовнішні сили паралельні, обрати систему координат і одну з осей (наприклад, ) спрямувати перпендикулярно до лінії їхньої дії. В проекції на цю вісь диференціальне рівняння руху центра мас приймає вигляд

= 0, (1.7)

де – координата центра мас.

4) Двічі інтегруючі (1.7) за умовою, що у початковий момент часу центр маси системи знаходився в стані спокою, знаходимо що

= = const. (1.8)

5) Рівняння (1.8) еквівалентно рівнянню

,

звідки отримуємо

= 0, (1.9)

в якому – абсолютні зміщення елементів системи. Ці зміщення можуть бути знайдені як алгебраїчні суми абсолютного зміщення одного з тіл (основного) та зміщень інших тіл відносно нього. З рівняння (1.9) визначаємо –абсолютне зміщення основного тіла.

6) Якщо зовнішні сили діють з рівнодійною вздовж осі , то теорема про рух центра мас дає

= = , (1.10)

де – абсолютне прискорення кожного тіла. Беремо другі похідні від абсолютних зміщень кожного тіла за умовою, що = 0 і отриманий вираз (1.10) визначає силу .

Приклад 1. Тіло 3 з закріпленим на ньому електродвигуном (загальна маса тіла та двигуна = 150 кг) може ковзати вздовж горизонтальної поверхні без тертя. На співосних валах електродвигуна, на відстанях = 0,6 м та = 0,4 м від осі обертання, жорстко закріплені тіла масами = 20 кг та = 30 кг, розмірами яких можна нехтувати. В початковий момент часу система знаходиться у стані спокою, а тіла та знаходяться в точках і відповідно (рис. 1.1). В момент часу = 0 вали починають обертатися за рухом стрілки годинника за законами рад та рад.

1. Знайти закон зміщення тіла 3 від часу.

2. Знайти реакцію упорів, які утримують тіло 3 в закріпленому стані.

Розв’язання. В даному випадку механічна система складається з трьох елементів – тіл масами , та , які в початковий момент часу нерухомі. Зовнішніми силами, що діють на систему в незакріпленому стані є сили тяжіння та реакція опори збоку гладкої горизонтальної поверхні, на якій знаходиться тіло 3. Ці сили спрямовані вздовж вертикалі, тому оберемо систему координат (дивись рис. 1.1), спрямувавши вісь горизонтально і сумістивши вісь з лівим краєм тіла 3. Сума проекцій зовнішніх сил на вісь х дорівнює нулю. У початковий момент часу система знаходиться у стані спокою, отже положення центру мас системи відносно осі не змінюється. Математично це можна записати наступним чином

, (1)

або

= 0, (2)

де – абсолютні зміщення елементів системи.

Знайдемо абсолютні зміщення кожного тіла. Для цього будемо вважати, що за малий проміжок часу тіло 3 змістилось праворуч на відстань , а тіла 1 і 2 повернулися на кути та відносно початкових положень (дивись рис. 1.2). Тоді абсолютні зміщення тіл, що обертаються, є алгебраїчними су мами зміщення тіла 3 та відповідних відносних зміщень і тіл 1 і 2 вздовж осі (рис. 1.2). Останні величини можна знайти з геометричних міркувань:

,

.

Таким чином, для абсолютних зміщень та отримуємо:

, (3)

. (4)

Підставляючи в (2) ці зміщення, отримуємо

,

звідки визначимо зміщення третього тіла в будь-який момент часу

.

Підставляючи числа в цей вираз, отримаємо закон зміщення третього тіла з часом

=

м.

Для відповіді на друге питання перепишемо закон руху центра мас механічної системи у вигляді, скориставшись виразом (1.10)

. (5)

При наявності упорів тіло 3 не рухається, отже = 0, тоді

= .

Двічі візьмемо похідні від (3) та (4), беручі до уваги, що = 0, підставимо їх в (5) і для реакції упору остаточно отримаємо

.

Підставляючи дані, знаходимо

= = Н.

Відповідь: м,

= Н.

Приклад 2. Призма 3 (рис. 1.3) масою = 12 кг з закріпленим на ньому електродвигуном ( = 5 кг) та блоком ( = 1 кг) може ковзати вздовж горизонтальної поверхні без тертя. Два тіла, маси яких = 4 кг та = 3 кг , можуть ковзати по гладким поверхням призми, які утворюють кути = 45º та = 60º з горизонтом. Тіла зв’язані мотузками з шківами двигуна А та блоком В. Електродвигун (радіуси шківів якого = 15 см та = 5 см), зв’язаний з блоком (радіуси шківів якого = 20 см та = 10 см), відкритою пасовою передачею. Вал електродвигуна обертається за законом рад. Знайти:

1. Закон зміщення призми від часу.

2. Реакцію упорів, які утримують призму в закріпленому стані.

3. Обчислити зміщення призми і реакцію упору на момент часу = 1 с.

Додатному напряму обертання відповідає обертання валу двигуна проти руху стрілки годинника. Вагою мотузок та пасу нехтувати і вважати їх нерозтяжними.

Розв’язання. В даному випадку механічна система складається з п’яти елементів. Зовнішніми силами є сили тяжіння, а також нормальна реакція горизонтальної площини, які спрямовані вертикально. Введемо декартову систему відліку (дивись рис. 1.3), спрямувавши вісь горизонтально. Тоді сума проекцій усіх зовнішніх сил на вісь дорівнює нулю і, згідно з теоремою про рух центра мас механічної системи, з урахуванням того, що в початковий момент часу система знаходиться у стані спокою, маємо

= 0, (1)

де – абсолютні зміщення елементів системи вздовж осі .

Абсолютні зміщення тіл 1, 2, та знайдемо як алгебраїчну суму їхніх зміщень відносно призми та абсолютного зміщення призми = відносно нерухомої системи координат. Будемо вважати, що призма змістилася праворуч від початкового положення (рис. 1.4). Електродвигун та блок не зміщу ються відносно призми, тому

= = = . (2)

Для визначення зміщень першого та другого тіла відносно призми, треба визначити на який кут повернувся вал двигуна протягом часу і в якому напрямі відбулися відповідні зміщення тіл 1 і 2.


Додатнім напрямом обертання валу двигуна ми вважаємо його обертання в напрямі проти руху стрілки годинника (рис. 1.4). В такому випадку тіло 1 рухається ліворуч вниз. З врахуванням передачі між електродвигуном А та блоком , останній обертається також проти напряму руху стрілки годинника і тіло 2 рухається по похилій площині догори ліворуч. Модуль відносного зміщення тіла 1 вздовж похилої площини знайдемо як

= , (3)

тоді абсолютне зміщення першого тіла вздовж осі визначиться як

= – . (4)

Блок за той самий проміжок часу повернеться на кут проти руху стрілки годинника, який ми знайдемо за умовами нерозтяжності пасової передачі та відсутності ковзання між блоками та пасом

= ,

звідки знайдемо кут повороту блока

.

Це дає можливість визначити модуль відносного зміщення тіла 2 вздовж похилої площини

= , (5)

та знайти абсолютне зміщення другого тіла вздовж осі

= – . (6)

Підставимо (2), (4), (6) в (1) і отримаємо

= 0.

Якщо розкрити дужки та провести алгебраїчні перетворення, то дістанемо

. (7)

Оскільки , то отриманий вираз дає зміщення тіла 3 в будь-який момент часу.

Підставляючи умови задачі в формулу (7) на момент часу
= 1 с отримуємо

= 0,09 м.

Для відповіді на друге запитання перепишемо закон руху центра мас механічної системи у вигляді, який визначає реакцію упору

. (8)

При наявності упорів тіло 3 не рухається, отже

= = 0. (9)

Візьмемо другі похідні від (4) та (6) і, з урахуванням (9), для реакції упору отримаємо

=

= =

= . (10)

Знайдемо другу похідну за часом від :

, рад/с2,

і, підставляючи в (10) дані задачі на моменту часу = 1 с, знайдемо

= – 1,2 Н.

Відповідь: м, (1) = 0,09 м, = , (1) = – 1,2 Н.

Реакція упору виникає у випадку нерівномірного руху хоча би одного з елементів механічної системи. Зауважимо, що при певних співвідношеннях параметрів системи може дорівнювати нулю.

Приклад 3. Призма 3 масою = 10 кг з закріпленим на ньому блоком масою = 2 кг, може ковзати вздовж горизонтальної поверхні без тертя. Тіло 1 (маса = 15 кг, = 10 см, = 5 см), може котитися по поверхні призми без ковзання, а тіло 2 масою = 3 кг може ковзати по другій поверхні, бо з’єднані нерозтяжними та невагомими мотузками, які накинуті на шківи блоку ( = 30 см, = 20 см). Поверхні призми утворюють кути = 30° та = 60° з горизонтом. В момент часу t = 0 перше тіло починає котитися без ковзання по поверхні, при цьому його центр рухається за законом (м) відносно призми.

1. Знайти закон переміщення призми 3 вздовж горизонтальної площини як функцію переміщення першого тіла відносно призми – .

2. Визначити величину реакцію упора , який забезпечить нерухомість призми.


Розв’язання. Скористаємося теоремою про рух центра мас. Дія зовнішніх сил на механічну систему зводиться до сил тяжіння та реакції опори гладкої горизонтальної площини. Тому вибираємо систему координат так, щоб вісь була спрямована перпендикулярно лінії дії зовнішніх сил (рис. 1.5). У початковий момент часу швидкість центру мас дорівнює нулю, тому отримуємо

= 0, (1)

де – абсолютні зміщення тіл, які входять до системи, вздовж осі .

Для визначення абсолютних зміщень тіл будемо вважати, що за рахунок руху тіл 1 та 2 на момент часу > 0 призма змістилась праворуч від початкового положення на відстань , а тіла 1 і 2 ліворуч вздовж похилих площин на відстані та відповідно (рис. 1.5). Тоді абсолютні зміщення тіл, що ходять до системи можна записати як:

, (2)

, (3)

= . (4)

Підставляючи отримані (2), (3), (4) в рівняння (1), отримуємо

= 0, (5)

звідки знайдемо зв’язок між переміщеннями тіл

. (6)

Щоб знайти функцію встановимо зв’язок між переміщеннями тіл 1 та 2. Тіло 1 здійснює плоский рух і його миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці дотику зовнішньої поверхні циліндра до призми. Тому для швидкості центра тіла 1 відносно призми маємо

, (7)

де - кутова швидкість першого тіла. Тоді швидкість точки (точки дотику мотузки до внутрішнього радіуса тіла 1) визначиться як

. (8)

Виключаючи з рівнянь (7) та (8) отримуємо

. (9)

Блок 4 здійснює обертальний рух і тому для швидкостей його точок та отримуємо:

, ,

звідки знаходимо

.

Оскільки та , то знаходимо зв’язок між швидкостями тіл 1 та 2 відносно призми

, (10)

що, з врахуванням вихідних даних дає

.

Інтегруючи отримане співвідношення при нульових початкових умовах, отримуємо зв’язок між відносними переміщеннями тіл

= 0,75 . (11)

Тоді рівняння (6) приймає вигляд

, (12)

Звідки, з врахуванням даних задачі, отримаємо зміщення призми як функцію відносного зміщення першого тіла

= 0,47 . (13)

Для знаходження реакції опори виходимо з проекції на вісь рівняння руху центру мас

. (14)

Оскільки тепер призма нерухома, то = 0 і тому з врахуванням рівнянь (2) – (4) маємо:

,

, (15)

= 0,

отже

. (16)

З врахуванням рівняння зв’язку (11) між переміщеннями тіл 1 та 2 отримуємо вираз для реакції упорів

. (17)

Підставляємо дані та отримуємо

= – 14,1 . (18)

Зауважимо, що реакція виникає за умови нерівномірного руху тіла 1 і пропорціональна величині його прискорення.

Відповідь: = 0,47 , = – 14,1 .