Теорема про зміну моменту кількості руху механічної системи
У динаміці поступального руху користуються поняттям кількості руху . При вивченні обертального руху вводиться поняття – момент кількості руху (кінетичний момент). Ця величина вводиться аналогічно моменту сили з заміною сили на вектор кількості руху.
Для окремої матеріальної точки масою момент кількості руху
відносно довільної точки простору
визначається виразом
, (3.1)
де - радіус-вектор проведений з точки (центру)
до матеріальної точки,
- її кількість руху. Вектор
залежить від кількості руху та положення матеріальної точки відносно точки
Векторний добуток можна обчислити за допомогою матриці
=
, (3.2)
де ,
,
та
,
,
- проекції радіус-вектора
та швидкості точки
на відповідні вісі. Таким чином, момент кількості руху матеріальної точки може бути знайдений за формулою
=
=
= . (3.3)
Проекції ,
,
вектора моменту кількості руху на декартові вісі
,
та
називають моментом кількості руху матеріальної точки відносно осі.
Модуль і напрям вектора моменту кількості руху визначається за правилами векторного добутку. На рис. 3.1, зображена площина, в якій лежать вектори
та
. Напрям моменту кількості руху
рухомої матеріальної точки
відносно точки
спрямований від нас перпендикулярно до площини рисунку, а його модуль можна знайти за формулою
(3.4)
тут – кут між векторами
і
, а
– відстань від точки
до лінії вздовж якої спрямована швидкість матеріальної точки
.
Замість вектора моменту кількості руху матеріальної точки, часто користуються його алгебраїчним значенням, яке визначається за такими ж самими правилами, що і для визначення моменту сили відносно точки (дивись розділ 1, §1.5). Тоді для точки отримуємо
, (3.5)
а для точки (рис. 3.1)
. (3.6)
Зауважимо: 1) у випадку прямолінійного рівномірного руху точки, її момент кількості руху (кінетичний момент) відносно заданої точки простору залишається незмінним;
2) момент кількості руху матеріальної точки дорівнює нулю, якщо лінія вздовж якої спрямований вектор кількості руху проходить через цю точку.
Момент кількості руху механічної системи є векторною сумою моментів імпульсів (кінетичних моментів) її елементів
. (3.7)
Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі, то для знаходження моменту кількості руху, тіло розглядають як сукупність матеріальних точок масами , що знаходяться на незмінних відстанях
від осі обертання і обертаються з однаковою для всіх точок кутовою швидкістю
. Тоді момент кількості руху відносно осі обертання
(дивись рис. 3.2) можна обчислити як суму моментів кількості руху елементів тіла відносно неї
, (3.8)
що у випадку неперервного розподілу маси дає
, (3.9)
де – символ відповідної осі обертання. Сума добутків мас елементів на квадрат їхньої відстані до осі обертання
чи відповідний інтеграл по об’єму тіла
називається моментом інерції тіла відносно заданої
осі
. (3.10)
Ця фізична величина характеризує інертність тіла при обертанні навколо заданої осі, залежить від розподілу маси в тілі, положення осі обертання і вимірюється в кг·м2.