Методика розв’язання задач

1. Вибираємо інерціальну систему відліку. Для розв’язання задачі використовуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи.

2. Абсолютні швидкості тіл системи представляємо як суму швидкостей переносного руху (основного тіла) та відносного (руху кожного тіла відносно основного).

3. Вибираємо зручні для розв’язання задачі осі координат та записуємо відповідні скалярні рівняння.

4. Розв’язуємо рівняння та отримуємо відповідь.

Приклад 1. По порому масою = 3 т, який пливе зі швидкістю = 3 м/с рухається автомобіль масою = 1,5 т зі швидкістю = 2 м/с відносно нього (рис. 2.1 а). В момент часу t = 0 автомобіль починає гальмувати. Знайти швидкість порому на момент, коли відносна швидкість автомобілю становить = 0,5 м/с.

Опором повітря та води нехтувати. Вважати, що в процесі руху автомобіля горизонтальне положення порома зберігається.

Розв'язання. Виберемо інерціальну систему відліку, зв’язавши її з яким-небудь нерухомим об’єктом (маяком на березі) та спрямуємо вісь вздовж напряму руху порому (рис. 2.1, а, б).

Оскільки ми нехтуємо опором води та повітря, то проекції зовнішніх сил (вага порома та автомобіля і сила Архімеда) вздовж напряму руху дорівнюють нулю тому скористаємося законом збереження компоненти кількості руху

, (1)

де та компоненти кількості руху механічної системи у початковий та кінцевий моменти часу.

В початковий момент (рис. 2.1. а) автомобіль рухається в напрямі руху порому, його абсолютна швидкість дорівнює і початкову кількість руху системи відносно обраної системи відліку можна записати як

.

Щоб записати кінцевий кількість руху системи, будьмо вважати, що напрям руху порому не змінюється, а його швидкість дорівнює (рис. 2.1 б). Тоді абсолютна швидкість автомобіля вздовж осі буде , і кінцева кількість руху системи відносно нерухомої системи відліку.

Прирівнюючи кінцевий та початковий імпульси, отримаємо

= ,

що дозволяє визначити кінцеву швидкість порома

.

Підставимо умови задачі та знайдемо

= 3,5 м/с.

Відповідь: = 3,5 м/с.

Приклад 2. Механічна система утворена призмою з закріпленим на ньому електродвигуном 3, який приводить в рух тіла 1 та 2 (рис. 2.2).

Призма рухається по горизонтальній поверхні зі швидкістю = 1 м/с. В момент часу включають електродвигун. Визначити швидкість призми в той момент часу, коли вал двигуна 3 здійснює обертання за рухом стрілки годинника, з кутовою швидкістю = 3 рад/с. Тертям між поверхнею та призмою нехтувати, вважати, що циліндричне тіло 3 котиться без ковзання. Маси тіл = 8 кг, = 10 кг, маса призми з електродвигуном = 12 кг, = 45°, = 60°, = 15 см, =10 см,
= 30см, = 20 см.

Розв’язання. Зв’яжемо абсолютну систему координат з нерухомою площиною. Дія зовнішніх сил на механічну систему зводиться до сил тяжіння та нормальної реакції площини. Тому спрямуємо вісь перпендикулярно до цих сил – тобто вздовж горизонтальної площини. Оскільки силами тертя між призмою та площиною нехтуємо, то скористуємось законом збереження компоненти кількості руху

, (1)

де та компонента кількості руху механічної системи у початковий та кінцевий моменти часу.

В початковий момент часу тіла нерухомі відносно призми, тому швидкості усіх елементів відносно вибраної системи однакові і тоді

. (2)

В кінцевий момент швидкості тіл 1 та 2 знаходимо як суму швидкостей переносного руху (платформи) та відносного руху кожного тіла:

, (3)

, (4)

де – швидкість призми, а та відносні швидкості тіл 1 та 2.

Це дає можливість записати вираз для кінцевого значення компоненти кількості руху

(5)

Оскільки тіло 1 здійснює поступальний рух, то його швидкість визначається швидкістю руху мотузки, яка з’єднує його з блоком (дивись рис. 2.3), тому

, (6)

де – зовнішній радіус блоку, який закріплено на валу електродвигуна, а - його кутова швидкість.

Тіло 2 здійснює плоский рух, миттєвий центр швидкості знаходиться в точці дотику тіла до поверхні призми, тому для швидкостей центру маси тіла 2 та точки (точки дотику мотузки до тіла 2) отримуємо:

, (7)

, (8)

де - кутова швидкість тіла 2.

З системи рівнянь (7) та (8) знаходимо кутову швидкість тіла 2

, (9)

тоді для швидкості відносного руху центра тіла 2 отримуємо

. (10)

Оскільки за умовою задачі вал електродвигуна обертається за рухом стрілки годинника, що в даному прикладі забезпечує рух тіл 1 і 2праворуч, то:

, (11)

. (12)

Підставимо вирази (11) і (12) в (5) і скористаємось формулою (1) з урахуванням (2). Тоді після відповідних перетворень отримуємо вираз для швидкості призми

. (13)

Підставляючи дані знайдемо = 0,43 м/с.

Відповідь: = 0,43 м/с.

Приклад 3. Горизонтальна ділянка трубопроводу зігнута під кутом 90°. Визначити силу тиску води ( кг/м3) на зігнуту частину, якщо діаметр трубопроводу 10 см, а швидкість води 12 м/с (рис. 2.4 – проекція на горизонтальну площину).

Розв’язання. Скористуємося теоремою про зміну кількості руху механічної системи в інтегральній формі (2.4)

, (1)

де – головний вектор сил тиску стінок трубопроводу на потік. У випадку стаціонарного потоку не змінюється з часом і (1) набуває вигляду

, (2)

де .

Спрямуємо вісь по бісектрисі кута зігнутої частини трубопроводу, а вісь – перпендикулярно до неї у площині ділянки трубопроводу. Оскільки ділянка трубопроводу розташована горизонтально, то вага води спрямована вертикально і не має проекції на вісі та . За умовою задачі модуль швидкості руху води залишається незмінним . Тоді через початковий та кінцевий поперечний перетини трубопроводу за час пройде маса води

. (3)

Вектори швидкості та складають кути, рівні 45° з віссю .

Проектуючи рівняння (2) на вісі координат (рис. 2.5), отримуємо:

, (4)

. (5)

Отже, головний вектор сил тиску спрямований вздовж осі , а сила додаткового динамічного тиску на трубопровід дорівнює за модулем , але спрямована у протилежну сторону (рис. 2.4). Тоді з формули (4) з врахуванням (3) отримуємо

. (6)

Підставляючи чисельні значення, знаходимо силу тиску потоку води на трубопровід = 800 Н.

Відповідь: сила тиску = 800 Н.