Методика розв’язання задач
Розглянемо два типи задач, коли на тілі (платформі), що обертається, розташовані тіла, які вважаємо матеріальними точками:
Тип 1) розташування тіл у механічній системі не змінюється при дії на неї моменту зовнішніх сил:
1. Суміщаємо вісь 
з віссю обертання платформи.
2. Знаходимо проекції моменту кількості руху механічної системи для початкового та кінцевого станів, коли тіла нерухомі відносно платформи
, (1)
, (2)
де 
– момент інерції платформи відносно осі (якщо вісь не проходить через центр маси, то потрібно скористатися теоремою Гюйгенса-Штейнера), 
, 
–початкова та кінцева кутові швидкості платформи, 
та 
– маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі ( 
).
2. Обчислюємо зміну моменту кількості руху за рахунок моменту зовнішніх сил 
протягом заданого часу 
. (3)
3. На підставі теореми про зміну моменту кількості руху записуємо рівняння
, (4)
з якого знаходимо кінцеву кутову швидкість 
системи.
Тип 2) на систему не діє момент зовнішніх тіл, але в системі відбувається рух тіл, які входять у систему:
1. Суміщаємо вісь з віссю обертання платформи.
2. Знаходимо проекцію моменту кількості руху механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи
, (4)
де 
– момент інерції платформи відносно осі , 
– початкова кутова швидкість, та – маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі ( 
).
3. Знаходимо момент кількості руху механічної системи для моменту часу 
, коли точки системи рухаються відносно платформи. В цьому випадку швидкість кожної точки системи знаходимо за формулою складання швидкостей складного руху, тобто
. (5)
Тому для моменту кількості руху рухомої матеріальної точки записуємо
+ 
.
Вважаючи, що напрям обертання не змінюється, для кінцевого значення проекції моменту кількості руху механічної системи отримуємо
, (6)
де 
– віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор переносної швидкості 
; 
– віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор відносної швидкості 
. При цьому знак «+» в дужках ставимо у випадку, коли напрями векторних добутків та співпадають, а знак «–» - коли ці напрями протилежні.
Оскільки для переносної швидкості точки 
, де 
– відстань точки від осі обертання для моменту часу 
, тоді з рівняння (6) отримуємо
. (7)
4. Прирівнюючи вирази (4) та (7) отримаємо рівняння
,
звідки знаходимо кінцеву кутову швидкість обертання 
.
| Рис. 3.3 |
= 400 кг і радіус 
= 5 м обертається навколо вертикальної фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з початковою кутовою швидкістю 
= 4 рад/с (рис. 3.3). На відстані 
м від осі обертання в стані спокою знаходиться механізм масою 
= 150 кг. В момент часу 
= 0 на систему починає діяти момент зовнішніх сил 
. Визначити кутову швидкість 
обертання диска в момент часу 
= 2 с.
Далі диск обертається за інерцією з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу 
самохідний механізм переміщується в нове положення на відстань 
= 2 м від центру диску та зупиняється. Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на цей момент, нехтуючи тертям у підшипниках.
Розв’язання. Розглянемо рух механічної системи, сумістивши вісь 
системи відліку з віссю обертання диску. Скористаємося теоремою про зміну проекції моменту кількості руху механічної системи у інтегральній формі
,
де 
– 
- проекція моменту кількості руху системи, який складається з диска та механізму; 
- головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі .
Сили, які діють на систему - це сили тяжіння 
та 
, реакції підп’ятника 
та підшипника 
і момент зовнішніх сил 
. Сили тяжіння спрямовані паралельно осі обертання і, відповідно, їхні моменти відносно цієї осі дорівнюють нулю. Не створюють моменту і сили реакції, бо вони перетинають вісь . Отже, головний момент зовнішніх сил дорівнює моменту 
= 
.
Момент кількості руху системи є сумою моментів імпульсів її елементів. Момент кількості руху диску, який має момент інерції 
відносно осі та обертається навколо неї з кутовою швидкістю 
визначається за формулою
,
в якій 
- момент інерції диску відносно осі обертання.
Для матеріальної точки, згідно з визначенням (3.1) запишемо проекцію її моменту кількості руху на вісь як
,
де 
- радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки, а 
- абсолютна швидкість точки. Якщо точка не рухається відносно диску ( 
), то абсолютна швидкість 
точки, дорівнює її переносній швидкості, яка визначається за формулою Ейлера
,
отже
.
Таким чином проекція моменту кількості руху системи на вісь може бути записана у вигляді
,
а рівняння зміни моменту кількості руху під дією зовнішнього моменту сил приймає вигляд
.
Звідки отримуємо
.
Підставляючи чисельні значення, знаходимо
рад/c.
Після того, як перестав діяти момент зовнішніх сил 
, диск обертається у відсутності сил тертя за інерцією. Така ситуація дає можливість скористатись теоремою про збереження проекції моменту кількості руху на цю вісь
,
де 
та 
- відповідно - проекції початкового і кінцевого моменту кількості руху системи. Прирівнюючи отримані вирази для моменту кількості руху системи у початковий та кінцевий моменти часу маємо
= 
,
що дозволяє отримати вираз для розрахунку кінцевої кутової швидкості обертання диску
.
Підставляючи чисельні значення, знаходимо
рад/c.
Відповідь: 
= 4,6 рад/с.
Приклад 2. Однорідний диск маса якого 
= 300 кг і радіус = 8 м обертається навколо вертикальної фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з кутовою швидкістю = 5 рад/с. На відстані 
= 7 м від центру диску в стані спокою знаходиться механізм масою = 100 кг. В момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж кола незмінного радіуса 
за законом 
в напрямі обертання диску (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску як функцію часу 
та її значення на момент часу 
= 2 с.
| Рис. 3.4 |
системи відліку з віссю обертання диску та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска 
та механізму , реакції підп’ятника та підшипника 
(рис. 3.4). Ці сили не створюють моментів відносно осі , тому скористуємось теоремою про збереження проекції моменту кількості руху на цю вісь
,
де 
та 
початкова і кінцева - проекції моменту кількості руху системи відповідно. Вираз для початкової проекції моменту кількості руху знайдено у попередньому прикладі
.
Коли механізм почне рухатися, абсолютна швидкість точки складається зі швидкості 
відносного та 
переносного рухів, яку має будь-яка точка диску завдяки обертанню диска, тому для моменту кількості руху точки маємо
,
де 
- радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки. Швидкість переносного руху точки у довільний момент часу
,
модуль відносної швидкості визначимо як першу похідну відносного переміщення точки за часом
,
і спрямована вона по дотичній до траєкторії відносного руху.
Беручи до уваги напрям руху точки та, вважаючи, що напрям обертання диску не змінився, для абсолютної швидкості точки отримаємо
.
Записуємо кінцеве значення 
- проекції моменту кількості руху точки
,
і остаточно для кінцевого значення - проекції моменту кількості руху системи знайдемо
,
де 
- кінцева кутова швидкість обертання диску.
Тоді з умови збереження - проекції моменту кількості руху механічної системи отримуємо вираз для знаходження кінцевої кутової швидкості диску
.
Підставимо дані задачі та обчислимо значення для кінцевої кутової швидкості диску на момент часу = 2 с
= 4,03 рад/с.
Відповідь: = 4,03 рад/с.
Самостійно проаналізуйте задачу, для випадку коли відносна швидкість механізму протилежна переносній швидкості точок диска.
Приклад 3. Квадратна однорідна платформа маса якої = 300 кг і розмір 
= 3 м обертається навколо вертикальної фіксованої осі, що проходить через центр платформи перпендикулярно до її площини з кутовою швидкістю
= 5 рад/с (рис. 3.5). Механізм масою 
= 50 кг знаходиться в точці 
в стані спокою. В момент часу 
= 0 починає діяти момент зовнішніх сил 
(Н.м) і діє протягом часу 
. Визначити кутову швидкість обертання тіла та її значення при = 4 с.
Після цього дія зовнішнього моменту припиняється і в новий момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж прямої 
за законом 
(відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти куто
| Рис. 3.5 |
ву швидкість платформи на момент часу Т = 1 с.
Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання платформи та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска та механізму , реакції підп’ятника 
та підшипника 
та момент зовнішніх сил 
(рис. 3.6). Головний момент зовнішніх сил визначається тільки моментом 
, оскільки усі вказані сили не створюють моментів відносно осі .
Запишемо теорему про зміну - проекції моменту кількості руху механічної системи
| Рис. 3.6 |
, (1)
де та 
- початкова і кінцева - проекції моменти кількості руху системи відповідно.
Знайдемо вираз для моменту кількості руху механічної системи у довільний момент часу. Він складається з моментів імпульсів платформи та нерухомого відносно платформи механізму, отже отримуємо 
, (2)
де 
- момент інерції плат
форми відносно заданої осі обертання.
Оскільки в початковий момент механізм нерухомий, то його абсолютна швидкість дорівнює переносній
,
тому отримуємо
. (3)
Підставляючи дані задачі послідовно знаходимо
z = 300∙(32 + 32)/3 = 1800 кг∙м2,
= 50∙2∙32∙ 
= 900∙ 
кг∙м2/c,
.
Після цього обчислюємо інтеграл.
кг∙м2/c.
Підставляючи отримані результати у формулу (1), отримуємо
,
звідки знаходимо значення кутової швидкості у заданий момент часу з врахуванням умов задачі
рад/с.
Після цього моменту, згідно з умовами задачі, дія моменту зовнішніх сил припиняється і далі обертання платформи здійснюється у відсутності сил тертя. Це дає можливість скористатися теоремою про збереження проекції моменту кількості руху на вісь z
, (4)
де 
– 
- проекція моменту кількості руху у довільний момент часу 
.
Вираз для 
згідно (3) має вигляд
= 
. (5)
| Рис. 3.7. |
Коли механізм рухається, його абсолютна швидкість дорівнює 
, тому вираз для - проекції моменту кількості руху системи у довільний момент часу прийме вигляд
(6)
де 
– кутова швидкість обертання платформи, 
та 
- віддалі від точки 
до ліній, вздовж яких напрямлені швидкості переносного руху 
та відносного руху 
, відповідно.
Для обчислення виразу (6) в момент часу Т = 1 с. визначаємо:
1) положення механізму на траєкторії відносного руху
м.
Оскільки 
(м), то механізм знаходиться в точці 
(рис. 3.7), тобто 
2) швидкість переносного руху механізму 
;
3) величину 
. Для цього визначаємо кут 
(см. рис. 3.5) з геометричних міркувань: 
= 0,447, тоді
= 3·0,447 = 1,34 (м)
4) швидкість відносного руху 
= 6,71 (м/с).
Таким чином, вираз для кінцевого значення 
- проекції моменту кількості руху, з урахуванням напрямів векторів та 
, запишемо в вигляді
. (7)
Прирівнюючи вирази в (4) (5) та (7) отримуємо рівняння для визначення кутової швидкості 
,
звідки знаходимо
= 1,4 рад/с.
Відповідь: 
= 1 рад/с, 
=1,4 рад/с.
Приклад 4. Тіло утворено стрижнем довжиною 
= 0,5 м та масою 
= 37 кг, до кінця якого приєднано однорідний диск масою
= 290 кг, радіус якого 
0,8 м. (рис. 3.8). Тіло обертається з кутовою швидкістю
= 2 рад/с навколо вертикальної фіксованої осі, яка перпендикулярна до площини, в який лежить
| Рис. 3.8 |
стрижень та диск. Механізм масою = 10 кг знаходиться в точці в стані спокою. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил 
(Н.м) і діє протягом часу . Нехтуючи силами тертя у підшипнику та підп’ятнику, визначити кутову швидкість обертання тіла при = 4 с.
Після цього в новий момент часу = 0 тіло продовжує обертання за інерцією, а механізм починає рухатись вздовж дуги за законом 
(відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на момент часу Т = 1 с.
Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання платформи. Запишемо теорему про зміну - проекції моменту кількості руху механічної системи
, (1)
де та - початковий і кінцевий моменти кількості руху системи відповідно, 
- головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі .
| Рис. 3.9 |
Вкажемо зовнішні сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска , стрижня 
та механізму , реакції підшипника та підп’ятника та пара сил з моментом 
(рис. 3.9). Головний момент зовнішніх сил визначається тільки моментом , оскільки усі вказані сили не створюють моментів відносно осі .
Знайдемо вираз для моменту кількості руху механічної системи у довільний момент часу. Він складається з моментів імпульсів стрижня, диска та механізму, отже отримуємо
, (2)
де
м.
Момент інерції стрижня та диска відносно осі z знаходимо скориставшись теоремою Гюйгенса - Штейнера
кг·м2.
| Рис. 3.10 |
,
модуль якої дорівнює
.
Тому отримуємо вираз для моменту кількості руху системи на будь-який момент часу
. (3)
Після цього згідно з (1) обчислюємо визначений інтеграл.
кг·м2/с.
Підставляючи отримані результати у формулу (1), отримуємо вираз, який дозволяє знайти кутову швидкість обертання тіла 
у довільний момент часу
,
і знаходимо значення кутової швидкості у заданий момент часу
рад/с.
Після цього моменту, згідно з умовами задачі, дія моменту зовнішніх сил припиняється і далі обертання платформи здійснюється у відсутності сил тертя. Це дає можливість скористатися теоремою про збереження моменту кількості руху відносно осі
, (4)
де 
– проекція моменту кількості руху у момент часу 
,
– проекція моменту кількості руху у момент часу Т = 1 с.
знаходимо з формули (3)
кг·м2/с.
Коли механізм рухається, його абсолютна швидкість дорівнює 
, тому вираз для - проекції моменту кількості руху системи у довільний момент часу прийме вигляд
, (5)
де – кутова швидкість обертання платформи, 
та 
- відстані від точки 
до ліній, вздовж яких напрямлені швидкості переносного руху та відносного руху , відповідно.
Для розв’язання другої частини задачі визначаємо:
1) положення механізму на траєкторії відносного руху в заданий момент часу
м,
,
та позначаємо його точкою А1 (рис. 3. 11).
2) швидкість відносного руху 
,
м/с,
яка спрямована по дотичній до траєкторії відносного руху (рис. 3.11),
3) відстань від осі обертання (точки на рис. 3.11) до лінії, вздовж якої напрямлена швидкість відносного руху 
= 0,5 м.
4) відстань механізму від осі обертання переносника = DA1 з трикутника DA1О
= 1,39 м.
| Рис. 3.11 |
.
Таким чином, вираз (5) для кінцевого значення проекції моменту кількості руху, з урахуванням напрямів векторів та , запишемо в вигляді
,
в якому 
кутова швидкість диску на момент часу Т та обчислимо його
.
Прирівнюючи вирази 
, отримуємо рівняння для визначення кутової швидкості
,
звідки знаходимо
рад/с.
Відповідь: = 
= 6 рад/с, 
рад/с.