Обернена матриця
Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай
.
Означення 1. Матриця 
називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто 
.
Якщо ж 
, то матриця називається особливою (виродженою).
Означення 2. Квадратна матриця 
називається оберненою до матри ці , якщо виконується рівність
(1)
тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці 
.
Теорема. Якщо матриця - неособлива ( ), то ця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці .
Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену , тобто 
. За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо
, бо 
. (2)
Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли 
і .
Достатність.Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто . Скорочено позначимо 
. Покажемо, як знайти обернену матрицю.
Для кожного з елементів 
матриці знайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення 
: 
, розмістивши їх у вигляді нової матриці 
відповідно розташуванню елементів 
в . Отримаємо
(3)
(див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємо формулу оберненої матриці
. (4)
За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що 
.
Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці
.