Вектори. Лінійні операції над векторами
1. Скалярні і векторні величини. Величина, для характеристики якої досить її числового значення у відповідних одиницях вимірювання, називається скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, температура, довжина, площа, об’єм, кількість тепла і т.п.
Величина, для характеристики якої крім числового значення вказується ще і напрямок в просторі, називається векторною. Наприклад: сила, швидкість, прискорення, напруженість поля (електростатичного, магнітного, електромагнітного) і т.п.
Геометричним зображенням векторної величини в заданому масштабі є вектор.
Вектором називається відрізок заданої довжини і вказаним напрямком в просторі, тобто направлений відрізок.
В
А
Рис. 1
На рис. 1 А - початкова точка вектора, В - кінець вектора, вектор позначають 
. Для зручності запису замість символа « 
» над вектором будемо писати « — ». Іноді вектор позначають однією буквою: . Відстань від точки А до точки В називають довжиноюабо модулем вектора і позначають 
або 
.
Якщо початок і кінець вектора збігаються, то такий вектор називається нульовим і позначають 
. Напрямок нульового вектора може бути довільним.
Два ненульові вектори, що лежать на паралельних прямих або на одній прямій називають колінеарними, позначається 
. Нульовий вектор вважається колінеарним довільному вектору.
Вектори паралельні одній і тій же площині, або ті що лежать в одній площині називаються компланарними.
Рівними називаються два вектори, якщо вони задовольняють умови:
1) вони колінеарні,
2) їх модулі рівні,
3) вони направлені в одну сторону, тобто
Наприклад, на рис. 2, де АВСD - паралелограм,
Рис. 2
вектори 
Якщо 
, то вектори 
- протилежні. Вектор протилежний вектору позначають 
. Вектор протилежний вектору 
і записують = 
.
З означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити в просторі паралельно самому собі, такі вектори називають вільними.
Вектор, модуль якого дорівнює одиниці називається одиничним вектором, або ортом, і позначається 
:
.
2. Лінійні операції над векторами. До них відносяться додавання векторів та множення вектора на число (скаляр).
Додавання векторів. Нехай задані два вектори 
. Відкладемо з деякої точки О вектор 
, а тоді з точки А відкладемо вектор 
і розглянемо вектор 
.
Рис. 3
Сумою двох векторів і 
називається вектор 
, початок якого знаходиться в початку вектора , а кінець - в кінці вектора за умови, що початок початок знаходиться в кінці .
Згідно рис. 3 вектор замикає ламану OAB, напрямок вектора 
береться в кінець останнього доданка .
За принципом замикання знаходиться сума більшого числа доданків.
Рис. 4
.
Різниця векторів. Помістимо початки векторів і в одну точку О, і побудуємо замикаючий вектор 
(рис. 5).
Рис.5
Різницею двох векторів і , що виходять з однієї точки, називається замикаючий вектор (позначається 
), напрямок якого вибирається в сторону заменшуваного.
Множення вектора на число. Добутком ненульового вектора на число 
називається вектор , (позначається = ), колінеарний вектору ,модуль якого 
.
Напрямок вектора збігається з напрямком вектора , якщо >0, і протилежний напрямку вектора , якщо <0, тобто
При = 0, або = 
ввжається, що - нульовий вектор.
Рис. 6
3. Властивості лінійних операцій над векторами.
Рис. 7
Властивість 1, що називається переставною або комутативною, зрозуміла з рис. 7, дозволяє додавати вектори за правилом паралелограма.
- асоціативна або сполучна властивість (див. рис. 8).
Рис. 8
Властивості 3 - 8 пропонуємо перевірити самостійно.
Приклад 1. За даними векторами 
і 
побудувати вектори:
а) 
.
Розв’язання. Див. на рис. а) і б)
Приклад 2. У трикутнику АВС проведена медіана АМ див. на рис. Виразити вектор 
через вектори 
і 
.
Розв’язання.За означенням різниці векторів 
, тоді 
За означенням суми векторів із ∆ АВМ маємо
