Скалярний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком 
двох векторів 
(позначається 
) називається число рівне добуткові модулів цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:
. (1)
На основі властивості 1 проекцїї вектора рівність (1) запишеться:
(2)
У фізиці робота А сталої сили 
при прямолінійному переміщенні вздовж вектора шляху 
знаходиться як скалярний добуток цих векторів:
Основні властивості скалярного добутку.
Скалярний добуток комутативний
.
Випливає із (1).
Числовий множник 
можна виносити за знак скалярного добутку:
.
Для довільних векторів 
.
Скалярний добуток двох векторів 
дорівнює нулю ( 
) тоді і тільки тоді, коли один із них є нульовим вектором, або коли ці вектори перпендикулярні 
.
Таблиця скалярного множення ортів. Згідно означення (1) 
, аналогічно 
, а за властивістю (4) 
.
Отже, скалярний добуток одноіменних ортів дорівнює одиниці, а різноіменних - 0.
Скалярний добуток векторів в координатній формі. Якщо 
, то 
.
Дійсно, за допомогою властивостей 
маємо
Оскільки добуток одноіменних ортів дорівнює 1, а різноіменних – 0, то отримуємо формулу скалярного добутку у координатній формі:
. (3)
Приклад 1.Знайти скалярний добуток векторів 
і 
.
Розв’язання : За формулою (3) маємо:
.
Приклад 2.Задані точки А(3,2,3), В(1,-4,3), С(-4,5,1). Знайти скалярний добуток векторів 
.
Розв’язання .Спочатку знайдемо вектори 
За формулою (3) маємо
.
Довжина вектора. Якщо в (1) 
, то
Відстань між двома точками. 
і 
знаходиться як довжина вектора 
за формулою (4):
Косинус кута між двома векторами отримаємо із формули (1) із врахуванням (3) і (4):
Приклад 3. Задані точки 
. Для паралелограма, побудованого на векторах 
і 
обчислити: 1)довжини сторін, тобто 
і 
; 2) косинус та синус, кута 
; 3) площу.
Розв’язання.Знаходимо вектори 
тоді: 1) 
, 
. 2) 
(кут 
- тупий ), 
. 3) 
.
Приклад 4. Знайти модуль вектора 
, якщо
.
Розв’язання.За формулою (4)
.Знаходимо
,
тоді 
.
Умова перпендикулярності двох ненульових векторів 
випливає із властивості 4° і формули (3)
Проекція вектора на вектор знаходиться із врахуванням (3) і (4):
Теорема. Декартові прямокутні координати 
вектора 
в базисі 
є його проекціями на відповідні осі координат.
Дійсно, згідно з (9) маємо
Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів 
, утворених між вектором та координатними осями ОХ, ОУ, ОZ (див. рис. 19)
Приклад. Знайти напрямні косинуси вектора 
та значення виразу 
.
Розв’язання. 
.
Рис. 19
Легко перевірити, що для довільного вектора 
Напрямні косинуси вектора 
повністю визначають напрямок вектора і є координатами одиничного вектора 
, що збігається за напрямком з , тобто:
