Задачі для самостійного розв’язання. 1. Довести, що чотирикутник з вершинами А(3,2,-3), В(2,4,6), С(8,3,4), D(9,1,-5) є паралелограм
1. Довести, що чотирикутник з вершинами А(3,2,-3), В(2,4,6), С(8,3,4), D(9,1,-5) є паралелограм.
2. Показати, що точки А(3,4,1), В(1,0,-1) і С(-2,-6,-4) лежать на одній прямій.
3. Дані точки А(-3,6,1) і В(7,-9,-4). Знайти координати точок С, D, Е, i F, які ділять відрізок АВ на п’ять рівних частин.
4. Знайти координати кінців P і Q відрізка, який точками М(3,1,3) і N(6,-1,1) розділений на три рівні частини.
Відповіді: 3. С(-1,3,0), D(1,0,-1), E(3,-3,-2), F(5,-6,-3)
P(0,3,5), Q(9,-3,-1).
2.7. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій
1. Кут між векторами. Нехай задані ненульові вектори 
. Зведемо ці вектори до спільної точки О і в напрямках векторів 
проведемо з точки О промені (див. рис. 15).
Менший з кутів, які утворені цими променями називається кутом між векторами і позначається 
.
Кут між вектором 
і нульовим вектором не означається.
Очевидно, що якщо 
, то 
; Якщо ж 
то 
.
Вправи. 1). Знайти 
, 
, 
.
2). Нехай 
. Знайти 
.
Рис. 15
3).Розглянемо рівнобедренний прямокутний трикутник АВС, де 
. Знайти 
Відповіді: 
2. Проєкцію вектора на вісь 
(позначається 
) називається довжина відрізка, який сполучає проекції на цю вісь початку і кінця вектора, взята зі знаком « + », якщо кут між вектором і віссю гострий і знаком « - », якщо цей кут тупий (рис. 16).
Очевидно, що коли 
, то =0, і навпаки.
Основні властивості проекцій:
1. = 
(рис. 16);
2. 
= 
(рис. 17);
3. 
= + 
(рис. 18).
Властивість 3 виконується для суми скінченного числа векторів.
