Умова колінеарності двох векторів. Поділ відрізка в даному відношенні
1. Нехай ненульові вектори колінеарні,
, тобто існує таке число
, що
. В координатній формі:
(1)
Отже, умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат.
Приклад. Чи колінеарні вектори
?
Розв’язання. За умовою =(1,2,-3),
=(-3,-6,9), а за
формулою (1) маємо , або ще можна записати
.
2. Поділ відрізка в даному відношенні.Знайти координати точки М(х,у,z), яка ділить відрізок
в заданому відношенні
(рис. 14), якщо відомі координати точки
і
, тобто:
М
![]() |
Рис.14
Розглянемо вектори і
. Оскільки
і
, то згідно з умовою (1) колінеарності векторів маємо
Зокрема, якщо точка М ділить відрізок пополам, то і координати середини відрізка:
Задача. Знайти координати центра мас трикутника АВС, у вершинах А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4) якого зосереджені одиничні точкові маси.
Розв’язання.Побудуємо вершини трикутника за їх координатами (див. рис.) А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4).
Знайдемо середину відрізка АВ, це точка М – основа медіани:
,
M(1,3,1).
Відомо, що центр трикутника має знаходитись на перетині медіан, а медіани, перетинаючись, діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини, тобто
,
,
.
Отже, Р(3,1,2)- центр мас трикутника АВС.