Інтерпретація множини дійсних чисел
Розглянемо пряму з фіксованою точкою − початком координат. Нехай задана одиниця виміру. Тоді множину дійсних чисел можна поставити у взаємно однозначну відповідність із точками прямої: точці
, яка лежить справа від точки
, поставимо у відповідність число
, рівне довжині відрізка
. Тоді
, яка лежить зліва від точки
, число
, де
– довжина відрізка
, а точці
– число 0. Число
, яке відповідає точці
, називається координатою точки
. Пряма з описаними властивостями називається числовою прямою. Отже, кожній точці числової прямої відповідає дійсне число – її координата. Має місце й обернене твердження: кожному дійсному числові
відповідає деяка точка числової прямої, а саме точка
, координата якої
. При так установленій відповідності між дійсними числами і точками прямої нерівність
рівносильна тому, що точка з координатою
лежить зліва від точки з координатою
. Отже, можна говорити про ізоморфізм множини дійсних чисел і множини точок числової прямої, тобто що числова пряма є моделлю множини дійсних чисел.
Надалі, говорячи про дійсні числа, замість слова "число" іноді вживається слово "точка". У зв'язку з цим числові множини ще називають точковими.
Використовуючи аксіому неперервності множини дійсних чисел, можна встановити, що множина дійсних чисел, яка задовольняє умову , є незчисленною. Говорять, що ця множина має потужність континууму. Із цього випливає, що множина всіх дійсних чисел незчисленна. Можна також довести, що множина раціональних чисел зчисленна. Отже, множина ірраціональних чисел незчисленна, оскільки вона є множиною
(якби множина
ірраціональних чисел була зчисленною, то і множина
була б зчисленною, оскільки
).
Найбільш вживані числові множини
Нехай . Будемо використовувати наступні позначення:
відрізок,
інтервал,
півінтервал,
півінтервал.
Указані множини ще називають проміжками. Ми розглядатимемо також і нескінченні множини, використовуючи для цього символи .
Околом точки називається довільний інтервал
, який містить точку
, тобто
.
Інтервал називається
околом точки
. Точка
називається центром цього околу, а число
його радіусом. Зазвичай так позначають околи з центром у точці
і дуже малим радіусом, тобто коли
досить мале.
Межі числових множин
Нехай задано непорожню числову множину .
Множина називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число
, що для кожного
виконується нерівність
Множина називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число
, що для кожного
виконується нерівність
При цьому числа і
називаються відповідно верхньою та нижньою межею множини
.
Множина, яка обмежена зверху й знизу, називається обмеженою.
Очевидно, що будь-яка обмежена зверху (знизу) множина має безліч верхніх (нижніх) меж.
Найменша верхня межа обмеженої зверху множини називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається
(supremum (лат.) – найвище).
Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається
(infimum (лат.) – найнижче).
Якщо , то для довільного числа
існує
таке, що
. Якщо
, то для довільного числа
існує
таке, що
.
Теорема. Будь-яка непорожня обмежена зверху числова множина має точну верхню межу. Якщо ж вона обмежена знизу, то має точну нижню межу.
Доведення. Нехай – непорожня обмежена зверху числова множина. Тоді множина
чисел, які обмежують
зверху, непорожня. Із означення верхньої межі випливає, що
виконується нерівність
. За аксіомою неперервності дійсних чисел існує таке число
, що
виконується нерівність
.
Із цієї нерівності випливає, що обмежує
зверху, тобто є верхньою межею, і є найменшим із усіх верхніх меж, тобто є точною верхньою межею.
Друга частина теореми доводиться аналогічно.
Якщо множина не обмежена зверху ( знизу ), то за домовленістю пишуть
.
Абсолютна величина числа
Абсолютноювеличиною (модулем) числа називається саме число
, якщо
, число –
, якщо
.